7 вариант ОГЭ по математике 2026 с проверкой и разбором

Задание 1 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числа и вычисления

Вопрос: Найдите значение выражения: 2,7 · 4 − 1,7 · 4

Правильный ответ: 4

Решение:

1. Вынесем общий множитель 4 за скобку
2. 4 · (2,7 − 1,7) = 4 · 1
3. 4 · 1 = 4

Типичная ошибка: Вынесите общий множитель, чтобы свести вычисления к простому действию

Совет: Общий множитель позволяет избежать работы с десятичными дробями

Статистика: 6% учеников не справляются с этим заданием

Задание 2 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числовая прямая

Вопрос: Какое из чисел отмечено на координатной прямой между точками 7 и 8?

Варианты ответа:

1. √53 ✓
2. √48
3. √65
4. √42

Правильный ответ: √53

Решение:

1. √49 = 7 и √64 = 8
2. Нужно число, квадрат которого между 49 и 64
3. √53 ≈ 7,280 — подходит (между 7 и 8)
4. √65 ≈ 8,062 — не подходит (больше 8)

Типичная ошибка: Сравните подкоренное выражение с ближайшими точными квадратами: 49 и 64

Совет: Для оценки √n определите, между какими точными квадратами находится n

Статистика: 13% учеников не справляются с этим заданием

Задание 3 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Алгебраические выражения

Вопрос: Упростите выражение (x − 6)² + 12x и найдите его значение при x = −1

Правильный ответ: 37

Решение:

1. Раскрываем квадрат: (x−6)² = x² − 12x + 36
2. Прибавляем 12x: x² − 12x + 36 + 12x = x² + 36
3. При x = −1: 1 + 36 = 37

Типичная ошибка: Внимательно раскрывайте квадрат разности: (a−b)² = a² − 2ab + b²

Совет: После упрощения x² + 36 значение не зависит от знака x

Статистика: 13% учеников не справляются с этим заданием

Задание 4 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Уравнения

Вопрос: Решите уравнение x² + x − 20 = 0. В ответе укажите больший корень.

Правильный ответ: 4

Решение:

1. По теореме Виета: сумма корней = −1, произведение = −20
2. Подбор: x₁ = −5, x₂ = 4
3. Проверка: −5 + 4 = −1 ✓, (−5)·4 = −20 ✓
4. Больший корень: 4

Типичная ошибка: Если произведение корней отрицательно — корни имеют разные знаки

Совет: При отрицательном произведении корней один корень положительный, другой отрицательный

Статистика: 12% учеников не справляются с этим заданием

Задание 5 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Неравенства

Вопрос: Решите неравенство −3x + 9 < 0. В ответе укажите наименьшее целое решение.

Правильный ответ: 4

Решение:

1. −3x + 9 < 0
2. −3x < −9
3. x > 3 (делим на −3, знак меняется!)
4. Наименьшее целое: 4

Типичная ошибка: При делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный

Совет: Деление на отрицательное число: меняйте знак неравенства

Статистика: 18% учеников не справляются с этим заданием

Задание 6 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Последовательности

Вопрос: В арифметической прогрессии a₅ = 22, d = 4. Найдите a₁.

Правильный ответ: 6

Решение:

1. Формула: aₙ = a₁ + (n−1)·d
2. a₅ = a₁ + (5−1)·4 = a₁ + 16
3. 22 = a₁ + 16 → a₁ = 6

Типичная ошибка: Если известен не первый член — выразите a₁ из формулы общего члена

Совет: Из aₙ = a₁ + (n−1)d выразите нужный элемент, зная остальные

Статистика: 11% учеников не справляются с этим заданием

Задание 7 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Графики функций

Вопрос: Функция y = −3x² + 12x − 9. Куда направлены ветви параболы и чему равна координата вершины по оси x?

Варианты ответа:

1. Вниз, x₀ = 2 ✓
2. Вверх, x₀ = 2
3. Вниз, x₀ = −2
4. Вверх, x₀ = −2

Правильный ответ: Вниз, x₀ = 2

Решение:

1. Коэффициент при x² равен −3, a < 0 → ветви вниз
2. x₀ = −b/(2a) = −12/(2·(−3)) = −12/(−6) = 2
3. Ветви вниз, вершина при x₀ = 2

Типичная ошибка: Знак a определяет направление ветвей, x₀ = −b/(2a) — координату вершины

Совет: a < 0 — ветви вниз, a > 0 — ветви вверх; x₀ = −b/(2a)

Статистика: 15% учеников не справляются с этим заданием

Задание 8 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Системы уравнений

Вопрос: Решите систему: 4x − y = 10, x + y = 5. Найдите y.

Правильный ответ: 2

Решение:

1. Сложим уравнения: 4x − y + x + y = 10 + 5
2. 5x = 15 → x = 3
3. Из второго: 3 + y = 5 → y = 2

Типичная ошибка: При сложении y сокращается — это самый быстрый путь

Совет: Метод сложения удобен, когда коэффициенты при одной переменной противоположны

Статистика: 11% учеников не справляются с этим заданием

Задание 9 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Статистика

Вопрос: Набор данных: 12, 15, 11, 18, 14, 15, 15. Найдите моду и медиану. В ответе укажите их сумму.

Правильный ответ: 30

Решение:

1. Мода — самое частое значение: 15 (встречается 3 раза)
2. Упорядочим: 11, 12, 14, 15, 15, 15, 18
3. Медиана — средний элемент (4-й из 7): 15
4. Сумма: 15 + 15 = 30

Типичная ошибка: Не забудьте упорядочить ряд перед нахождением медианы

Совет: Мода — самое частое значение, медиана — среднее в упорядоченном ряду

Статистика: 9% учеников не справляются с этим заданием

Задание 10 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вероятность

Вопрос: В урне 7 белых и 3 красных шара. Наугад достают один шар. Какова вероятность достать белый шар? Ответ дайте в виде десятичной дроби.

Правильный ответ: 0.7

Решение:

1. Всего шаров: 7 + 3 = 10
2. P(белый) = 7/10
3. 7/10 = 0,7

Типичная ошибка: Делите число благоприятных исходов на общее число шаров

Совет: Классическая формула вероятности: P = m / n

Статистика: 8% учеников не справляются с этим заданием

Задание 11 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Преобразования выражений

Вопрос: Разложите на множители: 4x² − 9

Варианты ответа:

1. (2x−3)(2x+3) ✓
2. (4x−9)(x+1)
3. (2x−3)²
4. 2(x²−4,5)

Правильный ответ: (2x−3)(2x+3)

Решение:

1. 4x² − 9 = (2x)² − 3²
2. По формуле разности квадратов: (2x−3)(2x+3)

Типичная ошибка: Представьте оба слагаемых как полные квадраты: 4x² = (2x)², 9 = 3²

Совет: a² − b² = (a − b)(a + b) — применяйте, когда оба слагаемых — полные квадраты

Статистика: 19% учеников не справляются с этим заданием

Задание 12 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Текстовая задача

Вопрос: Бассейн заполняется одной трубой за 6 часов, другой — за 12 часов. За сколько часов заполнится бассейн, если открыть обе трубы одновременно?

Правильный ответ: 4

Решение:

1. Производительность первой трубы: 1/6 бассейна в час
2. Производительность второй: 1/12 бассейна в час
3. Совместная: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4
4. Время: 1 / (1/4) = 4 часа

Типичная ошибка: Складывайте производительности (части в час), а не время

Совет: Задачи на совместную работу: сложите производительности, потом найдите время

Статистика: 26% учеников не справляются с этим заданием

Задание 13 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Функции и графики

Вопрос: Прямая y = kx − 1 проходит через точку (3, 8). Найдите k.

Правильный ответ: 3

Решение:

1. Подставим точку (3, 8): 8 = 3k − 1
2. 3k = 9
3. k = 3

Типичная ошибка: Подставьте координаты точки (x, y) в уравнение прямой и решите относительно k

Совет: Для нахождения k подставьте известную точку в уравнение прямой

Статистика: 14% учеников не справляются с этим заданием

Задание 14 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Числовые последовательности

Вопрос: Геометрическая прогрессия: b₁ = 8, q = 1/2. Найдите сумму первых 4 членов.

Правильный ответ: 15

Решение:

1. b₁ = 8, b₂ = 4, b₃ = 2, b₄ = 1
2. S₄ = 8 + 4 + 2 + 1 = 15
3. Или по формуле: S₄ = 8·(1 − (1/2)⁴)/(1 − 1/2) = 8·(1 − 1/16)/(1/2) = 8·(15/16)·2 = 15

Типичная ошибка: При q < 1 члены прогрессии убывают — каждый следующий вдвое меньше

Совет: При 0 < q < 1 прогрессия убывает, сумма сходится к конечному значению

Статистика: 20% учеников не справляются с этим заданием

Задание 15 (2 балла, уровень: базовый)

Тема: Треугольники

Вопрос: В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 25, один катет равен 7. Найдите другой катет.

Правильный ответ: 24

Решение:

1. По теореме Пифагора: a² + b² = c²
2. 7² + b² = 25²
3. 49 + b² = 625
4. b² = 576, b = 24

Типичная ошибка: (7, 24, 25) — пифагорова тройка. Катет находится вычитанием квадратов

Совет: Если известна гипотенуза и катет: другой катет = √(c² − a²)

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 16 (2 балла, уровень: базовый)

Тема: Площади

Вопрос: Найдите площадь параллелограмма со стороной 12 и высотой, проведённой к этой стороне, равной 7.

Правильный ответ: 84

Решение:

1. S = a · h
2. S = 12 · 7 = 84

Типичная ошибка: Площадь параллелограмма = сторона × высота к этой стороне (а не произведение сторон)

Совет: S▱ = a · h. Высота перпендикулярна стороне

Статистика: 9% учеников не справляются с этим заданием

Задание 17 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Окружность

Вопрос: Касательная к окружности образует с радиусом, проведённым в точку касания, угол. Чему равен этот угол?

Правильный ответ: 90

Решение:

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания
2. Угол между касательной и радиусом = 90°

Типичная ошибка: Это свойство касательной — она всегда перпендикулярна радиусу в точке касания

Совет: Касательная ⊥ радиус в точке касания — одно из базовых свойств окружности

Статистика: 12% учеников не справляются с этим заданием

Задание 18 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Четырёхугольники

Вопрос: Диагонали ромба равны 18 и 24. Найдите сторону ромба.

Правильный ответ: 15

Решение:

1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам
2. Половины диагоналей: 9 и 12
3. Сторона ромба — гипотенуза: a² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
4. a = 15

Типичная ошибка: Диагонали ромба делятся пополам — используйте половины, а не целые диагонали

Совет: Сторона ромба находится через теорему Пифагора из половин диагоналей

Статистика: 16% учеников не справляются с этим заданием

Задание 19 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Подобие треугольников

Вопрос: Стороны подобных треугольников относятся как 2:5. Периметр меньшего 18 см. Найдите периметр большего.

Правильный ответ: 45

Решение:

1. Коэффициент подобия k = 5/2 = 2,5
2. Периметры подобных фигур соотносятся как k
3. P₂ = 18 · 2,5 = 45

Типичная ошибка: Периметры подобных фигур соотносятся как k, а не k²

Совет: Линейные размеры (включая периметры) — в k раз, площади — в k²

Статистика: 25% учеников не справляются с этим заданием

Задание 20 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Уравнения и системы

Вопрос: Решите уравнение: x(x − 7) = 0. В ответе укажите сумму корней.

Правильный ответ: 7

Решение:

1. Произведение = 0, когда хотя бы один множитель = 0
2. x = 0
3. x − 7 = 0 → x = 7
4. Сумма: 0 + 7 = 7

Типичная ошибка: Не забывайте, что x = 0 тоже является корнем уравнения

Совет: Нельзя делить обе части на x — потеряете корень x = 0

Статистика: 14% учеников не справляются с этим заданием

Задание 21 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Алгебраические дроби

Вопрос: Упростите: 2/(x+1) + 3/(x−1). Ответ запишите в виде дроби.

Варианты ответа:

1. (5x−1)/(x²−1)
2. (5x+1)/(x²−1) ✓
3. 5/(x²−1)
4. (5x+1)/(x²+1)

Правильный ответ: (5x+1)/(x²−1)

Решение:

1. Общий знаменатель: (x+1)(x−1) = x²−1
2. = (2(x−1) + 3(x+1)) / (x²−1)
3. = (2x−2 + 3x+3) / (x²−1)
4. = (5x+1)/(x²−1)

Типичная ошибка: При сложении дробей с разными знаменателями приводите к общему знаменателю

Совет: Не забудьте раскрыть скобки в числителе после приведения к общему знаменателю

Статистика: 29% учеников не справляются с этим заданием

Задание 22 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Практическая задача

Вопрос: Товар стоил 1200 рублей. Его уценили на 15%, а затем ещё на 10%. Сколько стоит товар после двух уценок?

Правильный ответ: 918

Решение:

1. Первая уценка (−15%): 1200 · 0,85 = 1020
2. Вторая уценка (−10%): 1020 · 0,90 = 918
3. Итоговая цена: 918 рублей

Типичная ошибка: Вторая скидка считается от уже сниженной цены, а не от начальной

Совет: Последовательные скидки: умножайте на (1 − p₁/100) · (1 − p₂/100)

Статистика: 24% учеников не справляются с этим заданием

Задание 23 (1 балл, уровень: высокий)

Тема: Уравнения высокой сложности

Вопрос: Решите уравнение x⁴ − 17x² + 16 = 0. Укажите количество корней.

Правильный ответ: 4

Решение:

1. Замена: t = x², получаем t² − 17t + 16 = 0
2. По теореме Виета: t₁ = 1, t₂ = 16 (сумма 17, произведение 16)
3. x² = 1 → x = ±1; x² = 16 → x = ±4
4. Всего 4 корня: −4, −1, 1, 4

Типичная ошибка: Каждое положительное значение t даёт два корня для x (положительный и отрицательный)

Совет: Биквадратное уравнение: замена t = x², решение квадратного, обратная замена

Статистика: 41% учеников не справляются с этим заданием

Задание 24 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрия — доказательство

Вопрос: В равнобедренной трапеции основания равны 10 и 24, а боковая сторона равна 25. Найдите высоту трапеции.

Правильный ответ: 24

Решение:

1. Проведём высоту из вершины меньшего основания
2. Основание высоты делит большее основание: отступ = (24 − 10) / 2 = 7
3. Прямоугольный треугольник: катет 7, гипотенуза 25
4. h² = 25² − 7² = 625 − 49 = 576
5. h = 24

Типичная ошибка: Найдите горизонтальный отступ как (большее основание − меньшее) / 2

Совет: В равнобедренной трапеции высота, боковая сторона и отступ образуют прямоугольный треугольник

Статистика: 37% учеников не справляются с этим заданием

Задание 25 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрия — вычисление

Вопрос: В окружности радиуса 13 проведена хорда длиной 24. Найдите расстояние от центра окружности до хорды.

Правильный ответ: 5

Решение:

1. Перпендикуляр из центра на хорду делит хорду пополам
2. Половина хорды: 24 / 2 = 12
3. Прямоугольный треугольник: R = 13, половина хорды = 12
4. Расстояние: √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5

Типичная ошибка: Не забудьте разделить длину хорды пополам перед применением теоремы Пифагора

Совет: R, половина хорды и расстояние от центра образуют прямоугольный треугольник

Статистика: 36% учеников не справляются с этим заданием