7 вариант ОГЭ по математике 2026 с проверкой и разбором

Задание 1 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача с планом

Вопрос: На плане изображён приусадебный участок трапециевидной формы. Две параллельные стороны участка имеют длины 40 м и 30 м, расстояние между ними — 20 м. На участке расположены дом, теплица, колодец и детская площадка. Найдите площадь всего участка.

Правильный ответ: 700

Решение:

1. Участок — трапеция с основаниями 40 м и 30 м, высотой 20 м
2. S = (a + b)/2 · h = (40 + 30)/2 · 20
3. S = 35 · 20 = 700 м²

Типичная ошибка: Площадь трапеции = полусумма оснований × высота

Совет: Не путайте стороны трапеции (боковые) с основаниями (параллельными сторонами)

Статистика: 8% учеников не справляются с этим заданием

Задание 2 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Определение по плану

Вопрос: По плану приусадебного участка (трапеция, 700 м²) определите: дом занимает площадь 80 м², теплица — 24 м². Какую часть участка (в процентах) занимают дом и теплица вместе? Ответ округлите до целых.

Правильный ответ: 15

Решение:

1. Суммарная площадь: 80 + 24 = 104 м²
2. Доля: 104 / 700 ≈ 0,1486
3. В процентах: ≈ 14,86% ≈ 15%

Типичная ошибка: Суммируйте площади дома и теплицы, затем делите на площадь всего участка

Совет: Процент = часть / целое × 100%. Округляйте до целых по правилам математики

Статистика: 11% учеников не справляются с этим заданием

Задание 3 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача с расчётом

Вопрос: Хозяин участка (трапеция, основания 40 м и 30 м, высота 20 м) решил проложить дорожку из гравия шириной 1 м вдоль более длинной стороны участка (40 м). Стоимость гравия — 350 руб/м². Сколько рублей стоит засыпка дорожки?

Правильный ответ: 14000

Решение:

1. Площадь дорожки: 40 × 1 = 40 м²
2. Стоимость: 40 × 350 = 14 000 рублей

Типичная ошибка: Дорожка — прямоугольник со сторонами 40 м и 1 м

Совет: Площадь прямоугольной дорожки = длина × ширина

Статистика: 7% учеников не справляются с этим заданием

Задание 4 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача на выбор

Вопрос: Для ограждения детской площадки (прямоугольник 6 м × 4 м) нужен забор. Деревянный забор стоит 1500 руб/м, металлический — 2200 руб/м. На сколько рублей металлический забор дороже деревянного?

Правильный ответ: 14000

Решение:

1. Периметр площадки: 2·(6 + 4) = 20 м
2. Стоимость деревянного: 20 × 1500 = 30 000 руб.
3. Стоимость металлического: 20 × 2200 = 44 000 руб.
4. Разница: 44 000 − 30 000 = 14 000 руб.

Типичная ошибка: Сначала найдите периметр, затем стоимость каждого варианта

Совет: Разница в стоимости = периметр × (цена₂ − цена₁)

Статистика: 9% учеников не справляются с этим заданием

Задание 5 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача

Вопрос: На приусадебном участке (700 м²) дом занимает 80 м², теплица — 24 м², колодец (круг радиуса 1 м) — примерно 3 м², детская площадка — 24 м², дорожка — 40 м². Остальная территория — газон. Найдите площадь газона.

Правильный ответ: 529

Решение:

1. Суммарная занятая площадь: 80 + 24 + 3 + 24 + 40 = 171 м²
2. Площадь газона: 700 − 171 = 529 м²

Типичная ошибка: Сложите все занятые площади и вычтите из общей площади участка

Совет: Площадь газона = площадь участка − сумма всех занятых площадей

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 6 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вычисления с дробями и степенями

Вопрос: Найдите значение выражения: 2⁻³ + (1/2)³

Правильный ответ: 0.25

Решение:

1. 2⁻³ = 1/2³ = 1/8
2. (1/2)³ = 1/8
3. 1/8 + 1/8 = 2/8 = 1/4 = 0,25

Типичная ошибка: Отрицательная степень: a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Совет: 2⁻³ и (1/2)³ — это одно и то же: 1/8

Статистика: 16% учеников не справляются с этим заданием

Задание 7 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числовая прямая / сравнение

Вопрос: Между какими последовательными целыми числами расположено число √45?

Варианты ответа:

1. 6 и 7 ✓
2. 7 и 8
3. 5 и 6
4. 8 и 9

Правильный ответ: 6 и 7

Решение:

1. √36 = 6, √49 = 7
2. 36 < 45 < 49
3. Значит √45 находится между 6 и 7
4. √45 ≈ 6,708

Типичная ошибка: Найдите два последовательных точных квадрата, между которыми стоит 45

Совет: Для оценки √n определите n² ближайших целых чисел

Статистика: 11% учеников не справляются с этим заданием

Задание 8 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Значение выражения

Вопрос: Найдите значение выражения: (2 + √3)(2 − √3)

Правильный ответ: 1

Решение:

1. По формуле разности квадратов: (a+b)(a−b) = a² − b²
2. (2+√3)(2−√3) = 4 − 3 = 1

Типичная ошибка: Используйте формулу (a+b)(a−b) = a² − b², не раскрывайте скобки полностью

Совет: Сопряжённые выражения с корнями: (a+√b)(a−√b) = a² − b

Статистика: 14% учеников не справляются с этим заданием

Задание 9 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Уравнение / система уравнений

Вопрос: Решите систему уравнений: x + y = 10, 2x − y = 5. Найдите x.

Правильный ответ: 5

Решение:

1. Сложим оба уравнения: x + y + 2x − y = 10 + 5
2. 3x = 15
3. x = 5

Типичная ошибка: При сложении уравнений y сокращается

Совет: Метод сложения удобен, когда коэффициенты при одной переменной противоположны по знаку

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 10 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вероятность

Вопрос: В группе 25 туристов: 8 говорят по-английски, 5 — по-французски, остальные — только по-русски. Случайно выбирают одного туриста. Какова вероятность, что он говорит только по-русски? Ответ дайте в виде десятичной дроби.

Правильный ответ: 0.48

Решение:

1. Говорящих только по-русски: 25 − 8 − 5 = 12
2. P = 12/25 = 0,48

Типичная ошибка: Сначала найдите количество тех, кто говорит только по-русски

Совет: P = благоприятные исходы / все исходы

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 11 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Графики функций

Вопрос: На рисунке изображён график квадратичной функции y = ax² + bx + c. Какой знак имеет дискриминант D?

Варианты ответа:

1. D > 0 ✓
2. D = 0
3. D < 0
4. Невозможно определить

Правильный ответ: D > 0

Решение:

1. Парабола пересекает ось x в двух точках
2. Два различных корня означают D > 0
3. D = 0 — парабола касается оси x (один корень)
4. D < 0 — парабола не пересекает ось x

Типичная ошибка: Количество точек пересечения параболы с осью x определяет знак дискриминанта

Совет: D > 0 — два корня (пересечения), D = 0 — один (касание), D < 0 — нет пересечений

Статистика: 20% учеников не справляются с этим заданием

Задание 12 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Последовательности / прогрессии

Вопрос: Геометрическая прогрессия: b₁ = 4, q = 3. Найдите сумму первых 4 членов.

Правильный ответ: 160

Решение:

1. b₁ = 4, b₂ = 12, b₃ = 36, b₄ = 108
2. S₄ = 4 + 12 + 36 + 108 = 160
3. Или по формуле: S₄ = 4·(3⁴−1)/(3−1) = 4·80/2 = 160

Типичная ошибка: В формуле суммы геометрической прогрессии Sₙ = b₁(qⁿ−1)/(q−1)

Совет: Для малого числа членов можно просто сложить все значения

Статистика: 17% учеников не справляются с этим заданием

Задание 13 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Преобразование выражений

Вопрос: Упростите: √(49a²) при a < 0

Правильный ответ: -7a

Решение:

1. √(49a²) = √49 · √(a²) = 7|a|
2. При a < 0: |a| = −a
3. 7|a| = 7·(−a) = −7a

Типичная ошибка: √(a²) = |a|, не a! При a < 0 модуль раскрывается со сменой знака

Совет: Всегда помните: √(x²) = |x|. Знак зависит от знака x

Статистика: 28% учеников не справляются с этим заданием

Задание 14 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Неравенства / системы неравенств

Вопрос: Решите неравенство: (x − 3)(x + 2) ≤ 0. Запишите ответ в виде промежутка.

Правильный ответ: [-2;3]

Решение:

1. Корни: x = 3 и x = −2
2. Коэффициент при x² положительный (парабола ветвями вверх)
3. Неравенство ≤ 0 выполняется между корнями (включая сами корни)
4. Ответ: −2 ≤ x ≤ 3, то есть [−2; 3]

Типичная ошибка: Для ≤ 0: между корнями (включая границы), для ≥ 0: вне корней

Совет: Метод интервалов: отметьте корни, определите знак на каждом промежутке

Статистика: 25% учеников не справляются с этим заданием

Задание 15 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Углы и треугольники

Вопрос: В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 65°. Найдите угол при вершине.

Правильный ответ: 50

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
2. Оба угла при основании: 65° + 65° = 130°
3. Угол при вершине: 180° − 130° = 50°

Типичная ошибка: В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны

Совет: Сумма углов треугольника = 180°

Статистика: 9% учеников не справляются с этим заданием

Задание 16 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Окружность и площадь

Вопрос: Длина окружности равна 10π. Найдите радиус.

Правильный ответ: 5

Решение:

1. C = 2πr
2. 10π = 2πr
3. r = 10π / (2π) = 5

Типичная ошибка: Длина окружности C = 2πr, не πr²

Совет: Из C = 2πr выражаем r = C/(2π)

Статистика: 7% учеников не справляются с этим заданием

Задание 17 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Координаты на плоскости

Вопрос: Найдите координаты середины отрезка с концами A(2, 8) и B(6, −2).

Правильный ответ: (4;3)

Решение:

1. x_M = (x₁ + x₂)/2 = (2 + 6)/2 = 4
2. y_M = (y₁ + y₂)/2 = (8 + (−2))/2 = 3
3. M(4; 3)

Типичная ошибка: Координаты середины — средние арифметические координат концов

Совет: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 18 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Клетчатая бумага

Вопрос: На клетчатой бумаге 1×1 изображена трапеция с основаниями 5 и 3 клетки и высотой 4 клетки. Найдите площадь трапеции.

Правильный ответ: 16

Решение:

1. S = (a + b)/2 · h
2. S = (5 + 3)/2 · 4 = 4 · 4 = 16

Типичная ошибка: Площадь трапеции = полусумма оснований × высота

Совет: На клетчатой бумаге легко определить основания и высоту по клеткам

Статистика: 8% учеников не справляются с этим заданием

Задание 19 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Геометрические утверждения

Вопрос: Какое из следующих утверждений верно?

Варианты ответа:

1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный ✓
2. Диагонали параллелограмма равны
3. Внешний угол треугольника меньше каждого внутреннего
4. Любые два прямоугольных треугольника подобны

Правильный ответ: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный

Решение:

1. Если два угла равны → стороны напротив них равны → треугольник равнобедренный — верно
2. Диагонали параллелограмма равны только у прямоугольника — неверно
3. Внешний угол больше каждого несмежного внутреннего — неверно
4. Прямоугольные треугольники подобны только при равенстве острого угла — неверно

Типичная ошибка: Проверяйте каждое утверждение: ищите контрпример или доказательство

Совет: Равнобедренный треугольник ↔ два равных угла ↔ два равных стороны

Статистика: 22% учеников не справляются с этим заданием

Задание 20 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Алгебраическое уравнение

Вопрос: Решите уравнение: 1/(x−1) + 2/(x+1) = 5/(x²−1).

Правильный ответ: 2

Решение:

1. ОДЗ: x ≠ 1, x ≠ −1
2. x² − 1 = (x−1)(x+1)
3. Умножим обе части на (x−1)(x+1):
4. (x+1) + 2(x−1) = 5
5. x + 1 + 2x − 2 = 5
6. 3x − 1 = 5 → 3x = 6 → x = 2
7. Проверка: x = 2 не входит в ОДЗ-ограничения → ответ верен

Типичная ошибка: Обязательно проверьте ОДЗ: знаменатели не должны обращаться в ноль

Совет: При решении дробных уравнений: 1) найти ОДЗ, 2) умножить на общий знаменатель, 3) проверить ответ

Статистика: 38% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: Дано: 1/(x−1) + 2/(x+1) = 5/(x²−1) Шаг 1. ОДЗ: x ≠ ±1 Шаг 2. Заметим: x²−1 = (x−1)(x+1) Шаг 3. Умножим обе части на (x−1)(x+1): (x+1) + 2(x−1) = 5 x + 1 + 2x − 2 = 5 3x − 1 = 5 x = 2 Шаг 4. Проверка: x = 2 ∈ ОДЗ 1/1 + 2/3 = 5/3 ✓ Ответ: x = 2

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верно найден ответ с учётом ОДЗ
• 1 балл: ход решения верный, но не проверена ОДЗ или допущена вычислительная ошибка
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 21 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Текстовая задача

Вопрос: Из города A в город B, расстояние между которыми 120 км, одновременно выехали автомобиль и мотоцикл. Скорость автомобиля на 20 км/ч больше скорости мотоцикла, и он прибыл в B на 1 час раньше. Найдите скорость мотоцикла.

Правильный ответ: 40

Решение:

1. Пусть v — скорость мотоцикла
2. Время мотоцикла: 120/v, время автомобиля: 120/(v+20)
3. 120/v − 120/(v+20) = 1
4. 120(v+20) − 120v = v(v+20)
5. 2400 = v² + 20v
6. v² + 20v − 2400 = 0
7. D = 400 + 9600 = 10000, √D = 100
8. v = (−20 + 100)/2 = 40 (второй корень отрицательный)

Типичная ошибка: Разница времён: время мотоцикла − время автомобиля = 1 час

Совет: Время = расстояние / скорость. Составьте уравнение из условия о разнице времён

Статистика: 42% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: Дано: S = 120 км, v_авто = v_мото + 20, разница времени = 1 ч Найти: v_мото Шаг 1. Пусть v — скорость мотоцикла (км/ч) Шаг 2. Составляем уравнение: 120/v − 120/(v+20) = 1 Шаг 3. Умножим на v(v+20): 120(v+20) − 120v = v(v+20) 120v + 2400 − 120v = v² + 20v 2400 = v² + 20v v² + 20v − 2400 = 0 Шаг 4. Дискриминант: D = 400 + 9600 = 10000 √D = 100 v = (−20 + 100)/2 = 40 (v = (−20 − 100)/2 = −60 < 0 — не подходит) Ответ: скорость мотоцикла 40 км/ч

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верно составлено уравнение, получен обоснованный ответ
• 1 балл: уравнение составлено верно, но допущена вычислительная ошибка
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 22 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Функции и графики

Вопрос: Постройте график функции y = |x² − 4x + 3| и определите, при каких значениях c прямая y = c имеет с графиком ровно три общие точки.

Правильный ответ: c=1

Решение:

1. x² − 4x + 3 = (x−1)(x−3), корни: x = 1, x = 3
2. Вершина параболы: x₀ = 2, y₀ = 4 − 8 + 3 = −1
3. y = |x² − 4x + 3|: при 1 < x < 3 часть параболы «отражается» вверх
4. Минимум отражённой части: y = |−1| = 1 при x = 2
5. Прямая y = c имеет 3 точки пересечения при c = 1 (касается «горба» и пересекает боковые ветви)

Типичная ошибка: Модуль «отражает» отрицательную часть графика вверх

Совет: Сначала постройте y = f(x), затем отразите отрицательные части относительно оси x

Статистика: 52% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: y = |x² − 4x + 3| = |(x−1)(x−3)| 1. Исходная парабола y = x²−4x+3: - Корни: x = 1, x = 3 - Вершина: (2, −1) 2. Модуль: при 1 < x < 3 парабола отрицательна → «отражаем» вверх - Получается «W-образный» график - Локальный максимум отражённой части: y = 1 при x = 2 3. Прямая y = c: - c = 0: 2 точки (корни x = 1, x = 3) - 0 < c < 1: 4 точки - c = 1: 3 точки (касание в x = 2 + два пересечения на ветвях) - c > 1: 2 точки Ответ: c = 1

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: график построен верно (с модулем), значение c найдено верно
• 1 балл: график построен верно, но ответ неполный или с ошибкой
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 23 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача — доказательство

Вопрос: Докажите, что сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°.

Правильный ответ: доказательство

Решение:

1. Пусть ABCD — вписанный четырёхугольник
2. ∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD
3. ∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу BAD
4. Вписанный угол = половина дуги, на которую он опирается
5. ∠A + ∠C = (дуга BCD + дуга BAD) / 2 = 360° / 2 = 180°

Типичная ошибка: Ключевое свойство: вписанный угол = половина дуги, на которую он опирается

Совет: Противоположные углы опираются на дуги, дающие в сумме полную окружность

Статистика: 52% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: Дано: четырёхугольник ABCD вписан в окружность Доказать: ∠A + ∠C = 180° Доказательство: 1. ∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD. ∠A = (дуга BCD) / 2 2. ∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу BAD. ∠C = (дуга BAD) / 2 3. Дуга BCD + дуга BAD = 360° (полная окружность) 4. ∠A + ∠C = (дуга BCD + дуга BAD) / 2 = 360° / 2 = 180° Аналогично: ∠B + ∠D = 180° Ч.т.д.

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: доказательство верное, все шаги обоснованы
• 1 балл: идея верная, но пропущено обоснование (например, не указано свойство вписанного угла)
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 24 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача — вычисление

Вопрос: В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота CD к гипотенузе AB. Известно, что AD = 4, DB = 9. Найдите CD.

Правильный ответ: 6

Решение:

1. По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе:
2. CD² = AD · DB
3. CD² = 4 · 9 = 36
4. CD = 6

Типичная ошибка: Высота к гипотенузе: h² = проекция₁ × проекция₂

Совет: В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе — среднее геометрическое проекций катетов

Статистика: 45% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: Дано: △ABC, ∠C = 90°, CD ⊥ AB, AD = 4, DB = 9 Найти: CD 1. Высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, является средним геометрическим проекций катетов на гипотенузу: CD² = AD · DB 2. CD² = 4 · 9 = 36 3. CD = 6 Проверка: AB = AD + DB = 13, AC = √(AD·AB) = √52, BC = √(DB·AB) = √117 AC² + BC² = 52 + 117 = 169 = 13² = AB² ✓ Ответ: CD = 6

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: решение верное, свойство высоты обосновано
• 1 балл: верная формула, но вычислительная ошибка
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 25 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача повышенной сложности

Вопрос: В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Известно, что AB = 12, AC = 8, BC = 10. Найдите длины отрезков BD и DC.

Правильный ответ: BD=6, DC=4

Решение:

1. По свойству биссектрисы: BD/DC = AB/AC
2. BD/DC = 12/8 = 3/2
3. BD + DC = BC = 10
4. Пусть BD = 3k, DC = 2k
5. 3k + 2k = 10 → 5k = 10 → k = 2
6. BD = 6, DC = 4

Типичная ошибка: Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон

Совет: Свойство биссектрисы: BD/DC = AB/AC

Статистика: 55% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: Дано: △ABC, AD — биссектриса ∠A, AB = 12, AC = 8, BC = 10 Найти: BD и DC 1. По свойству биссектрисы треугольника: BD/DC = AB/AC = 12/8 = 3/2 2. BD + DC = BC = 10 3. Пусть BD = 3k, DC = 2k: 3k + 2k = 10 5k = 10 k = 2 4. BD = 3·2 = 6 DC = 2·2 = 4 Проверка: BD + DC = 6 + 4 = 10 = BC ✓ BD/DC = 6/4 = 3/2 = AB/AC ✓ Ответ: BD = 6, DC = 4

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верно применено свойство биссектрисы, оба значения найдены с обоснованием
• 1 балл: идея решения верная, но обоснование неполное
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла