6 вариант ОГЭ по математике 2026 с проверкой и разбором

Задание 1 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числа и вычисления

Вопрос: Найдите значение выражения: 5,4 · 0,5 + 4,6 · 0,5

Правильный ответ: 5

Решение:

1. Вынесем общий множитель 0,5 за скобку
2. 0,5 · (5,4 + 4,6) = 0,5 · 10
3. 0,5 · 10 = 5

Типичная ошибка: Ищите общий множитель, чтобы упростить вычисления

Совет: Вынесение общего множителя — самый быстрый способ считать подобные выражения

Статистика: 7% учеников не справляются с этим заданием

Задание 2 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числовая прямая

Вопрос: Какое из чисел отмечено на координатной прямой между точками 6 и 7?

Варианты ответа:

1. √40 ✓
2. √50
3. √35
4. √55

Правильный ответ: √40

Решение:

1. √36 = 6 и √49 = 7
2. Нужно число, квадрат которого между 36 и 49
3. √40 ≈ 6,325 — подходит (между 6 и 7)
4. √50 ≈ 7,071 — не подходит (больше 7)

Типичная ошибка: Сравнивайте подкоренные выражения с точными квадратами: 36 < 40 < 49

Совет: Для оценки √n найдите два ближайших точных квадрата, между которыми находится n

Статистика: 14% учеников не справляются с этим заданием

Задание 3 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Алгебраические выражения

Вопрос: Упростите выражение (x + 5)² − 10x и найдите его значение при x = 2

Правильный ответ: 29

Решение:

1. Раскрываем квадрат: (x+5)² = x² + 10x + 25
2. Вычитаем 10x: x² + 10x + 25 − 10x = x² + 25
3. При x = 2: 4 + 25 = 29

Типичная ошибка: Внимательно раскрывайте квадрат суммы: (a+b)² = a² + 2ab + b²

Совет: После раскрытия скобок всегда приводите подобные слагаемые

Статистика: 11% учеников не справляются с этим заданием

Задание 4 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Уравнения

Вопрос: Решите уравнение x² − 9x + 20 = 0. В ответе укажите меньший корень.

Правильный ответ: 4

Решение:

1. По теореме Виета: сумма корней = 9, произведение = 20
2. Подбор: x₁ = 4, x₂ = 5
3. Проверка: 4 + 5 = 9 ✓, 4·5 = 20 ✓
4. Меньший корень: 4

Типичная ошибка: По теореме Виета сумма корней равна −(−9) = 9 при a = 1

Совет: При a = 1 сумма корней = −b, произведение = c

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 5 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Неравенства

Вопрос: Решите неравенство 5x − 2 ≥ 18. В ответе укажите наименьшее целое решение.

Правильный ответ: 4

Решение:

1. 5x − 2 ≥ 18
2. 5x ≥ 20
3. x ≥ 4
4. Наименьшее целое: 4

Типичная ошибка: При нестрогом неравенстве (≥) граничная точка входит в решение

Совет: Нестрогое неравенство включает граничное значение в множество решений

Статистика: 12% учеников не справляются с этим заданием

Задание 6 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Последовательности

Вопрос: В арифметической прогрессии a₁ = −2, d = 6. Найдите a₇.

Правильный ответ: 34

Решение:

1. Формула: aₙ = a₁ + (n−1)·d
2. a₇ = −2 + (7−1)·6
3. a₇ = −2 + 36 = 34

Типичная ошибка: Не забывайте вычитать 1 из номера члена: (n−1), а не n

Совет: aₙ = a₁ + (n−1)·d — универсальная формула арифметической прогрессии

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 7 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Графики функций

Вопрос: Функция y = 2x² − 8x + 6 имеет вершину параболы. Найдите координату вершины по оси y.

Правильный ответ: -2

Решение:

1. x₀ = −b/(2a) = 8/(2·2) = 2
2. y₀ = 2·4 − 8·2 + 6 = 8 − 16 + 6 = −2
3. Координата вершины по оси y: −2

Типичная ошибка: Сначала найдите x₀, потом подставьте в функцию для нахождения y₀

Совет: Вершина параболы: x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀)

Статистика: 16% учеников не справляются с этим заданием

Задание 8 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Системы уравнений

Вопрос: Решите систему: x + 3y = 14, 2x − y = 0. Найдите x.

Правильный ответ: 2

Решение:

1. Из второго уравнения: 2x = y → y = 2x
2. Подставим в первое: x + 3·(2x) = 14
3. x + 6x = 14 → 7x = 14 → x = 2

Типичная ошибка: Выразите y из более простого уравнения и подставьте в другое

Совет: Если в одном уравнении легко выразить переменную — используйте подстановку

Статистика: 13% учеников не справляются с этим заданием

Задание 9 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Статистика

Вопрос: Набор данных: 8, 3, 5, 3, 6, 3, 9. Найдите размах.

Правильный ответ: 6

Решение:

1. Максимальное значение: 9
2. Минимальное значение: 3
3. Размах = 9 − 3 = 6

Типичная ошибка: Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями выборки

Совет: Размах = max − min

Статистика: 6% учеников не справляются с этим заданием

Задание 10 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вероятность

Вопрос: В классе 30 учеников, из них 12 девочек. Случайно выбирают одного ученика. Какова вероятность, что это мальчик? Ответ дайте в виде десятичной дроби.

Правильный ответ: 0.6

Решение:

1. Мальчиков: 30 − 12 = 18
2. P(мальчик) = 18/30 = 3/5
3. 3/5 = 0,6

Типичная ошибка: Сначала найдите количество мальчиков, затем делите на общее число учеников

Совет: P = число благоприятных исходов / общее число исходов

Статистика: 9% учеников не справляются с этим заданием

Задание 11 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Преобразования выражений

Вопрос: Упростите выражение: (a² − 16) / (a + 4)

Варианты ответа:

1. a − 4 ✓
2. a + 4
3. a² − 4
4. (a − 4)²

Правильный ответ: a − 4

Решение:

1. Числитель: a² − 16 = (a − 4)(a + 4) — разность квадратов
2. Сокращаем (a + 4): (a − 4)(a + 4) / (a + 4) = a − 4
3. Условие: a ≠ −4

Типичная ошибка: Разложите числитель по формуле разности квадратов перед сокращением

Совет: a² − b² = (a − b)(a + b) — одна из ключевых формул

Статистика: 18% учеников не справляются с этим заданием

Задание 12 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Текстовая задача

Вопрос: Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу. Скорость первого 15 км/ч, второго 20 км/ч. Расстояние между ними 70 км. Через сколько часов они встретятся?

Правильный ответ: 2

Решение:

1. Скорость сближения: 15 + 20 = 35 км/ч
2. Время до встречи: 70 / 35 = 2 часа

Типичная ошибка: При движении навстречу скорости складываются для нахождения скорости сближения

Совет: При встречном движении: t = S / (v₁ + v₂)

Статистика: 20% учеников не справляются с этим заданием

Задание 13 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Функции и графики

Вопрос: График линейной функции проходит через точки (1, 3) и (3, 9). Найдите значение функции при x = 5.

Правильный ответ: 15

Решение:

1. Находим k: k = (9 − 3) / (3 − 1) = 6 / 2 = 3
2. Находим b: 3 = 3·1 + b → b = 0
3. y = 3x
4. При x = 5: y = 3·5 = 15

Типичная ошибка: Сначала найдите угловой коэффициент k через две точки, потом b

Совет: k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) — угловой коэффициент прямой

Статистика: 17% учеников не справляются с этим заданием

Задание 14 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Числовые последовательности

Вопрос: Геометрическая прогрессия: b₁ = 3, q = −2. Найдите b₄.

Правильный ответ: -24

Решение:

1. Формула: bₙ = b₁ · q^(n−1)
2. b₄ = 3 · (−2)³
3. (−2)³ = −8
4. b₄ = 3 · (−8) = −24

Типичная ошибка: При отрицательном q чётные степени дают плюс, нечётные — минус

Совет: В геометрической прогрессии с отрицательным q знаки чередуются

Статистика: 21% учеников не справляются с этим заданием

Задание 15 (2 балла, уровень: базовый)

Тема: Треугольники

Вопрос: В прямоугольном треугольнике катеты равны 8 и 15. Найдите гипотенузу.

Правильный ответ: 17

Решение:

1. По теореме Пифагора: c² = a² + b²
2. c² = 64 + 225 = 289
3. c = 17

Типичная ошибка: (8, 15, 17) — пифагорова тройка, запомните её

Совет: Пифагоровы тройки: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)

Статистика: 8% учеников не справляются с этим заданием

Задание 16 (2 балла, уровень: базовый)

Тема: Площади

Вопрос: Найдите площадь треугольника с основанием 14 и высотой 10.

Правильный ответ: 70

Решение:

1. S = ½ · a · h
2. S = ½ · 14 · 10
3. S = 70

Типичная ошибка: Не забудьте разделить произведение основания и высоты на 2

Совет: Площадь треугольника = половина произведения основания на высоту

Статистика: 7% учеников не справляются с этим заданием

Задание 17 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Окружность

Вопрос: Вписанный угол опирается на дугу 140°. Чему равен вписанный угол?

Правильный ответ: 70

Решение:

1. Вписанный угол = половина дуги, на которую он опирается
2. Угол = 140° / 2 = 70°

Типичная ошибка: Вписанный угол равен половине дуги, а не всей дуге

Совет: Вписанный угол = дуга / 2. Центральный угол = дуга

Статистика: 22% учеников не справляются с этим заданием

Задание 18 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Четырёхугольники

Вопрос: В прямоугольнике длины сторон 9 и 40. Найдите длину диагонали.

Правильный ответ: 41

Решение:

1. Диагональ прямоугольника — гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами a и b
2. d² = 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681
3. d = 41

Типичная ошибка: Диагональ прямоугольника находится по теореме Пифагора

Совет: Диагональ прямоугольника: d = √(a² + b²)

Статистика: 15% учеников не справляются с этим заданием

Задание 19 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Подобие треугольников

Вопрос: Два подобных треугольника имеют коэффициент подобия 4. Площадь меньшего 5 см². Найдите площадь большего.

Правильный ответ: 80

Решение:

1. При подобии отношение площадей = k²
2. k = 4, значит k² = 16
3. S₂ = S₁ · k² = 5 · 16 = 80

Типичная ошибка: Площади подобных фигур соотносятся как КВАДРАТ коэффициента подобия

Совет: Линейные размеры — k, площади — k², объёмы — k³

Статистика: 28% учеников не справляются с этим заданием

Задание 20 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Уравнения и системы

Вопрос: Решите уравнение: (3x + 6)(x − 4) = 0. В ответе укажите произведение корней.

Правильный ответ: -8

Решение:

1. Произведение = 0, когда хотя бы один множитель = 0
2. 3x + 6 = 0 → x = −2
3. x − 4 = 0 → x = 4
4. Произведение: (−2) · 4 = −8

Типичная ошибка: Не забудьте разделить на коэффициент при x в первом множителе

Совет: Если произведение = 0, приравнивайте каждый множитель к нулю отдельно

Статистика: 16% учеников не справляются с этим заданием

Задание 21 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Алгебраические дроби

Вопрос: Упростите: 3/(x−3) − 3/(x+3). Ответ запишите в виде дроби.

Варианты ответа:

1. 18/(x²−9) ✓
2. 6/(x²−9)
3. 6x/(x²−9)
4. 0

Правильный ответ: 18/(x²−9)

Решение:

1. Общий знаменатель: (x−3)(x+3) = x²−9
2. = (3(x+3) − 3(x−3)) / (x²−9)
3. = (3x+9 − 3x+9) / (x²−9)
4. = 18/(x²−9)

Типичная ошибка: При вычитании дробей раскрывайте скобки в числителе внимательно

Совет: Общий знаменатель (x−a)(x+a) = x² − a²

Статистика: 30% учеников не справляются с этим заданием

Задание 22 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Практическая задача

Вопрос: На вклад начислили 10% годовых. Через год на вкладе стало 55 000 рублей. Какой была начальная сумма вклада?

Правильный ответ: 50000

Решение:

1. Пусть начальная сумма x
2. x · 1,10 = 55 000
3. x = 55 000 / 1,10 = 50 000

Типичная ошибка: Чтобы найти начальную сумму, делите итог на (1 + ставка/100)

Совет: Увеличение на p% — умножение на (1 + p/100), обратная операция — деление

Статистика: 23% учеников не справляются с этим заданием

Задание 23 (1 балл, уровень: высокий)

Тема: Уравнения высокой сложности

Вопрос: Решите уравнение x⁴ − 13x² + 36 = 0. Укажите сумму всех корней.

Правильный ответ: 0

Решение:

1. Замена: t = x², получаем t² − 13t + 36 = 0
2. По теореме Виета: t₁ = 4, t₂ = 9 (сумма 13, произведение 36)
3. x² = 4 → x = ±2; x² = 9 → x = ±3
4. Корни: −3, −2, 2, 3. Сумма: (−3) + (−2) + 2 + 3 = 0

Типичная ошибка: Каждое положительное t даёт два корня x (±), их сумма всегда равна нулю

Совет: В биквадратном уравнении корни всегда симметричны относительно нуля

Статистика: 43% учеников не справляются с этим заданием

Задание 24 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрия — доказательство

Вопрос: В трапеции ABCD (BC ‖ AD) проведена средняя линия MN. Основания BC = 8 и AD = 14. Найдите длину средней линии.

Правильный ответ: 11

Решение:

1. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований
2. MN = (BC + AD) / 2
3. MN = (8 + 14) / 2 = 22 / 2 = 11

Типичная ошибка: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Совет: Средняя линия трапеции = (a + b) / 2

Статистика: 35% учеников не справляются с этим заданием

Задание 25 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрия — вычисление

Вопрос: В окружности проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке E. AE = 3, EB = 8, CE = 4. Найдите ED.

Правильный ответ: 6

Решение:

1. По свойству пересекающихся хорд: AE · EB = CE · ED
2. 3 · 8 = 4 · ED
3. 24 = 4 · ED
4. ED = 6

Типичная ошибка: Произведения отрезков пересекающихся хорд равны

Совет: Свойство хорд: если хорды пересекаются, то AE·EB = CE·ED

Статистика: 40% учеников не справляются с этим заданием