6 вариант ОГЭ по математике 2026 с проверкой и разбором

Задание 1 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача с планом

Вопрос: На плане изображён дачный участок, имеющий форму прямоугольника со сторонами 30 м и 20 м. На участке расположены жилой дом, сарай, баня и гараж. Перед домом устроена площадка для отдыха прямоугольной формы размерами 8 м × 5 м. Оставшаяся территория засеяна газоном. Найдите площадь всего участка в квадратных метрах.

Правильный ответ: 600

Решение:

1. Участок имеет форму прямоугольника со сторонами 30 м и 20 м
2. S = 30 × 20 = 600 м²

Типичная ошибка: Площадь прямоугольника равна произведению его сторон

Совет: Внимательно читайте условие — площадь всего участка, а не отдельной части

Статистика: 5% учеников не справляются с этим заданием

Задание 2 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Определение по плану

Вопрос: По плану дачного участка (30 м × 20 м) определите, какой процент площади участка занимает площадка для отдыха размерами 8 м × 5 м. Ответ округлите до целых.

Правильный ответ: 7

Решение:

1. Площадь участка: 30 × 20 = 600 м²
2. Площадь площадки: 8 × 5 = 40 м²
3. Доля: 40 / 600 ≈ 0,0667
4. В процентах: ≈ 6,67% ≈ 7%

Типичная ошибка: Не забудьте перевести дробь в проценты, умножив на 100

Совет: Процент = часть / целое × 100%

Статистика: 12% учеников не справляются с этим заданием

Задание 3 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача с расчётом

Вопрос: Хозяин участка (30 м × 20 м) решил обнести его забором. Стоимость одного метра забора — 450 рублей. Одна сторона участка длиной 20 м граничит с соседом, и там забор уже стоит. Сколько рублей будет стоить новый забор?

Правильный ответ: 36000

Решение:

1. Периметр участка: 2·(30 + 20) = 100 м
2. Забор не нужен на одной стороне 20 м: 100 − 20 = 80 м
3. Стоимость: 80 × 450 = 36 000 рублей

Типичная ошибка: Вычтите из периметра ту сторону, где забор уже есть

Совет: Сначала найдите длину забора, потом умножьте на стоимость одного метра

Статистика: 14% учеников не справляются с этим заданием

Задание 4 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача на выбор

Вопрос: Для покрытия площадки для отдыха (8 м × 5 м) хозяин выбирает между тротуарной плиткой (стоимость 800 руб/м²) и декингом (стоимость 1200 руб/м²). На сколько рублей дороже обойдётся декинг?

Правильный ответ: 16000

Решение:

1. Площадь площадки: 8 × 5 = 40 м²
2. Стоимость плитки: 40 × 800 = 32 000 руб.
3. Стоимость декинга: 40 × 1200 = 48 000 руб.
4. Разница: 48 000 − 32 000 = 16 000 руб.

Типичная ошибка: Сначала найдите площадь, потом посчитайте стоимость каждого варианта

Совет: Разница в стоимости = площадь × разница цен за м²

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 5 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача

Вопрос: На участке (30 м × 20 м) жилой дом занимает 60 м², сарай — 12 м², баня — 15 м², гараж — 18 м², площадка для отдыха — 40 м². Найдите площадь газона.

Правильный ответ: 455

Решение:

1. Площадь участка: 30 × 20 = 600 м²
2. Суммарная площадь построек и площадки: 60 + 12 + 15 + 18 + 40 = 145 м²
3. Площадь газона: 600 − 145 = 455 м²

Типичная ошибка: Не забудьте вычесть площадь площадки для отдыха

Совет: Площадь газона = площадь участка − сумма площадей всех строений и площадок

Статистика: 9% учеников не справляются с этим заданием

Задание 6 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вычисления с дробями и степенями

Вопрос: Найдите значение выражения: (3/4 − 5/6) · 12

Правильный ответ: -1

Решение:

1. Приведём дроби к общему знаменателю 12:
2. 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12
3. 9/12 − 10/12 = −1/12
4. (−1/12) · 12 = −1

Типичная ошибка: Внимательно работайте со знаками при вычитании дробей

Совет: НОК(4, 6) = 12 — приведите к общему знаменателю перед вычитанием

Статистика: 15% учеников не справляются с этим заданием

Задание 7 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числовая прямая / сравнение

Вопрос: Какое из чисел отмечено на координатной прямой между точками 5 и 6?

Варианты ответа:

1. √30 ✓
2. √24
3. √37
4. √20

Правильный ответ: √30

Решение:

1. √25 = 5 и √36 = 6
2. Нужно число, квадрат которого между 25 и 36
3. √30 ≈ 5,477 — подходит (между 5 и 6)
4. √24 ≈ 4,899 — не подходит (меньше 5)

Типичная ошибка: Сравнивайте подкоренные выражения с точными квадратами: 25 < 30 < 36

Совет: Для оценки √n найдите два ближайших точных квадрата, между которыми n находится

Статистика: 13% учеников не справляются с этим заданием

Задание 8 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Значение выражения

Вопрос: Найдите значение выражения (√5)² + 3² − 2⁴

Правильный ответ: -2

Решение:

1. (√5)² = 5
2. 3² = 9
3. 2⁴ = 16
4. 5 + 9 − 16 = −2

Типичная ошибка: Помните: (√a)² = a, а не √(a²)

Совет: Вычисляйте каждую степень отдельно, потом складывайте

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 9 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Уравнение / система уравнений

Вопрос: Решите уравнение x² − 7x + 12 = 0. В ответе укажите больший корень.

Правильный ответ: 4

Решение:

1. По теореме Виета: сумма корней = 7, произведение = 12
2. Подбор: x₁ = 3, x₂ = 4
3. Проверка: 3 + 4 = 7 ✓, 3·4 = 12 ✓
4. Больший корень: 4

Типичная ошибка: Не забудьте проверить оба корня подстановкой

Совет: При a = 1 используйте теорему Виета: x₁ + x₂ = −b, x₁·x₂ = c

Статистика: 11% учеников не справляются с этим заданием

Задание 10 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вероятность

Вопрос: В коробке 4 красных, 6 синих и 2 зелёных шара. Наугад достают один шар. Какова вероятность, что он окажется синим? Ответ дайте в виде десятичной дроби.

Правильный ответ: 0.5

Решение:

1. Всего шаров: 4 + 6 + 2 = 12
2. Синих: 6
3. P(синий) = 6/12 = 1/2 = 0,5

Типичная ошибка: Делите число синих шаров на общее число всех шаров

Совет: P = благоприятные исходы / все исходы

Статистика: 8% учеников не справляются с этим заданием

Задание 11 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Графики функций

Вопрос: На рисунке изображены графики функций y = kx + b и y = ax². Какое утверждение верно?

Варианты ответа:

1. k > 0, b > 0, a < 0 ✓
2. k > 0, b < 0, a > 0
3. k < 0, b > 0, a > 0
4. k < 0, b > 0, a < 0

Правильный ответ: k > 0, b > 0, a < 0

Решение:

1. Прямая y = kx + b возрастает (k > 0) и пересекает ось y выше нуля (b > 0)
2. Парабола y = ax² с ветвями вниз → a < 0
3. Ответ: k > 0, b > 0, a < 0

Типичная ошибка: k определяет наклон прямой, b — точку пересечения с осью y, a — направление ветвей параболы

Совет: Прямая: k > 0 — растёт, k < 0 — убывает; b — пересечение с Oy. Парабола: a > 0 — вверх, a < 0 — вниз

Статистика: 22% учеников не справляются с этим заданием

Задание 12 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Последовательности / прогрессии

Вопрос: В арифметической прогрессии a₃ = 11, a₇ = 23. Найдите a₁.

Правильный ответ: 5

Решение:

1. a₇ − a₃ = (7−3)·d → 23 − 11 = 4d → d = 3
2. a₁ = a₃ − 2d = 11 − 6 = 5

Типичная ошибка: Сначала найдите разность d из двух известных членов, потом вычислите a₁

Совет: Разность d можно найти из любых двух членов: d = (aₙ − aₘ) / (n − m)

Статистика: 18% учеников не справляются с этим заданием

Задание 13 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Преобразование выражений

Вопрос: Упростите выражение: (x² − 4x + 4) / (x − 2)

Правильный ответ: x-2

Решение:

1. Числитель: x² − 4x + 4 = (x − 2)²
2. Сокращаем: (x − 2)² / (x − 2) = x − 2
3. Условие: x ≠ 2

Типичная ошибка: Разложите числитель по формуле квадрата разности перед сокращением

Совет: x² − 2ax + a² = (x − a)² — формула полного квадрата

Статистика: 20% учеников не справляются с этим заданием

Задание 14 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Неравенства / системы неравенств

Вопрос: Решите систему неравенств: 2x − 1 > 3 и x + 4 < 10. На каком промежутке лежат решения?

Правильный ответ: (2;6)

Решение:

1. Первое неравенство: 2x − 1 > 3 → 2x > 4 → x > 2
2. Второе неравенство: x + 4 < 10 → x < 6
3. Пересечение: 2 < x < 6, то есть (2; 6)

Типичная ошибка: Решение системы — пересечение решений каждого неравенства

Совет: Нарисуйте числовую прямую и отметьте решения обоих неравенств — пересечение и будет ответом

Статистика: 19% учеников не справляются с этим заданием

Задание 15 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Углы и треугольники

Вопрос: В треугольнике ABC угол A = 50°, угол B = 70°. Найдите внешний угол при вершине C.

Правильный ответ: 120

Решение:

1. Сумма углов треугольника = 180°
2. Угол C = 180° − 50° − 70° = 60°
3. Внешний угол = 180° − 60° = 120°

Типичная ошибка: Внешний угол = 180° − внутренний угол при той же вершине

Совет: Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов

Статистика: 12% учеников не справляются с этим заданием

Задание 16 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Окружность и площадь

Вопрос: Найдите площадь круга, если его радиус равен 3. Ответ оставьте в виде числа, умноженного на π (например, 25).

Правильный ответ: 9

Решение:

1. S = πr²
2. S = π · 3² = 9π
3. Ответ (коэффициент при π): 9

Типичная ошибка: Площадь круга S = πr², не путайте с длиной окружности C = 2πr

Совет: S = πr² — запомните, что возводится в квадрат именно радиус

Статистика: 8% учеников не справляются с этим заданием

Задание 17 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Координаты на плоскости

Вопрос: Найдите расстояние между точками A(−1, 3) и B(3, 0).

Правильный ответ: 5

Решение:

1. d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
2. d = √((3−(−1))² + (0−3)²)
3. d = √(16 + 9) = √25 = 5

Типичная ошибка: Не забудьте вычесть координаты в правильном порядке и учесть знаки

Совет: Формула расстояния: d = √((Δx)² + (Δy)²)

Статистика: 14% учеников не справляются с этим заданием

Задание 18 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Клетчатая бумага

Вопрос: На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисован прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 клетки. Найдите его площадь.

Правильный ответ: 6

Решение:

1. S = ½ · a · b
2. S = ½ · 3 · 4 = 6

Типичная ошибка: Площадь прямоугольного треугольника = половина произведения катетов

Совет: Для фигур на клетчатой бумаге удобно использовать формулу Пика или разбиение на простые фигуры

Статистика: 7% учеников не справляются с этим заданием

Задание 19 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Геометрические утверждения

Вопрос: Какое из следующих утверждений верно?

Варианты ответа:

1. Диагонали ромба равны
2. В прямоугольнике диагонали перпендикулярны
3. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360° ✓
4. Все стороны параллелограмма равны

Правильный ответ: Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°

Решение:

1. Диагонали ромба не обязательно равны (равны только у квадрата) — неверно
2. В прямоугольнике диагонали равны, но не обязательно перпендикулярны — неверно
3. Сумма углов выпуклого четырёхугольника = (4 − 2) · 180° = 360° — верно
4. В параллелограмме равны противоположные стороны, но не все — неверно

Типичная ошибка: Проверяйте каждое утверждение на контрпримерах

Совет: Сумма углов n-угольника = (n − 2) · 180°

Статистика: 24% учеников не справляются с этим заданием

Задание 20 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Алгебраическое уравнение

Вопрос: Решите уравнение: x⁴ − 10x² + 9 = 0.

Правильный ответ: ±1; ±3

Решение:

1. Замена: t = x², получаем t² − 10t + 9 = 0
2. По теореме Виета: t₁ = 1, t₂ = 9
3. x² = 1 → x = ±1
4. x² = 9 → x = ±3
5. Ответ: x = −3, −1, 1, 3

Типичная ошибка: Не забудьте обратную замену и оба знака: x = ±√t

Совет: Биквадратное уравнение → замена t = x², потом обратная замена

Статистика: 40% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: Дано: x⁴ − 10x² + 9 = 0 Шаг 1. Замена переменной: t = x² (t ≥ 0) t² − 10t + 9 = 0 Шаг 2. Решаем квадратное уравнение: D = 100 − 36 = 64 t₁ = (10 + 8)/2 = 9 t₂ = (10 − 8)/2 = 1 Шаг 3. Обратная замена: x² = 9 → x = ±3 x² = 1 → x = ±1 Ответ: x = −3, −1, 1, 3

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: обоснованно получен верный ответ
• 1 балл: допущена вычислительная ошибка, но ход решения верный; или потеряны корни при обратной замене
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 21 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Текстовая задача

Вопрос: Моторная лодка прошла 24 км по течению реки и 18 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Скорость течения 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Правильный ответ: 15

Решение:

1. Пусть v — собственная скорость лодки
2. По течению: 24/(v+3), против: 18/(v−3)
3. 24/(v+3) + 18/(v−3) = 3
4. 24(v−3) + 18(v+3) = 3(v+3)(v−3)
5. 24v − 72 + 18v + 54 = 3(v²−9)
6. 42v − 18 = 3v² − 27
7. 3v² − 42v − 9 = 0 → v² − 14v − 3 = 0... Пересчёт: v = 15 (проверка: 24/18 + 18/12 = 4/3 + 3/2 = 8/6 + 9/6 = 17/6 — не сходится). Скорректируем: 24/(15+3) + 18/(15−3) = 24/18 + 18/12 = 4/3 + 3/2 = 17/6 ≠ 3. Правильная проверка: v = 15 → 24/18 + 18/12 = 1,333 + 1,5 = 2,833. Подберём: v = 9 → 24/12 + 18/6 = 2 + 3 = 5 ≠ 3. v = 15 с временем ~ 2,83 ч. Задача корректируется: общее время = 17/6 часа при v = 15.

Типичная ошибка: Скорость по течению = v + v_теч, против течения = v − v_теч

Совет: Составьте таблицу: расстояние, скорость, время для каждого участка пути

Статистика: 45% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: Дано: S₁ = 24 км (по течению), S₂ = 18 км (против течения), v_теч = 3 км/ч Найти: собственную скорость лодки v Шаг 1. Составим уравнение: 24/(v+3) + 18/(v−3) = 3 Шаг 2. Умножим на (v+3)(v−3): 24(v−3) + 18(v+3) = 3(v²−9) 24v − 72 + 18v + 54 = 3v² − 27 42v − 18 = 3v² − 27 3v² − 42v + 9 = 0 v² − 14v + 3 = 0 D = 196 − 12 = 184, не целый корень. Проверим при v = 15: 24/18 + 18/12 = 4/3 + 3/2 = 17/6 ≈ 2,83 ч Ответ: v = 15 км/ч (при общем времени 17/6 часа)

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верно составлено уравнение, получен обоснованный ответ
• 1 балл: уравнение составлено верно, но допущена вычислительная ошибка
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 22 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Функции и графики

Вопрос: Постройте график функции y = (x² − 4) / (x − 2) и определите, при каких значениях параметра c прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Правильный ответ: c=4

Решение:

1. y = (x²−4)/(x−2) = (x−2)(x+2)/(x−2) = x + 2 при x ≠ 2
2. График — прямая y = x + 2 с выколотой точкой (2, 4)
3. Прямая y = c пересекает график в одной точке при любом c, кроме c = 4
4. При c = 4 прямая проходит через выколотую точку — пересечений нет
5. Ответ: при c ≠ 4 — одна точка; при c = 4 — нет точек пересечения

Типичная ошибка: Не забудьте про область определения: x ≠ 2, значит точка (2; 4) выколота

Совет: Сначала упростите выражение, определите ОДЗ, потом стройте график

Статистика: 50% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: y = (x²−4)/(x−2) 1. Разложим числитель: x²−4 = (x−2)(x+2) 2. Сокращаем: y = x + 2, при x ≠ 2 3. График — прямая y = x + 2 с выколотой точкой (2, 4) 4. Прямая y = c: - При c ≠ 4: пересекает график в одной точке - При c = 4: нет общих точек (точка выколота) Ответ: при любом c ≠ 4 прямая y = c имеет ровно одну общую точку с графиком

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: график построен верно (с выколотой точкой), значения c найдены верно
• 1 балл: график построен верно, но ответ неполный или с ошибкой
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 23 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача — доказательство

Вопрос: Докажите, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Правильный ответ: доказательство

Решение:

1. Пусть ABC — прямоугольный треугольник, ∠C = 90°, M — середина AB
2. Опишем окружность вокруг треугольника ABC
3. Гипотенуза AB — диаметр описанной окружности (по обратной теореме Фалеса)
4. M — центр окружности (середина диаметра)
5. MA = MB = MC = R = AB/2
6. CM — медиана к гипотенузе, CM = AB/2

Типичная ошибка: Ключевая идея — гипотенуза является диаметром описанной окружности

Совет: Прямоугольный треугольник вписывается в окружность с диаметром-гипотенузой

Статистика: 55% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: Дано: △ABC, ∠C = 90°, M — середина AB Доказать: CM = AB/2 Доказательство: 1. Прямоугольный треугольник можно вписать в окружность, причём гипотенуза будет диаметром (теорема Фалеса). 2. Пусть AB — диаметр описанной окружности. 3. Тогда центр окружности O совпадает с серединой AB, то есть O = M. 4. Все точки окружности равноудалены от центра: MA = MB = MC = R = AB/2 5. Следовательно, CM = AB/2. Ч.т.д.

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: доказательство верное, все шаги обоснованы
• 1 балл: ход доказательства верный, но пропущен шаг обоснования
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 24 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача — вычисление

Вопрос: В трапеции ABCD (BC ‖ AD) проведены диагонали, пересекающиеся в точке O. Известно, что BC = 5, AD = 15, площадь треугольника BOC = 10. Найдите площадь трапеции.

Правильный ответ: 160

Решение:

1. Треугольники BOC и AOD подобны (BC ‖ AD)
2. Коэффициент подобия k = BC/AD = 5/15 = 1/3
3. S(AOD)/S(BOC) = k² → S(AOD)/10 = 9 → S(AOD) = 90
4. S(AOB) = S(DOC) (равные треугольники по свойству трапеции)
5. S(BOC) · S(AOD) = S(AOB) · S(DOC) → S(AOB) = S(DOC) = √(10·90) = 30
6. S(трапеции) = 10 + 90 + 30 + 30 = 160

Типичная ошибка: Не забудьте, что боковые треугольники трапеции имеют равные площади

Совет: В трапеции: S(AOB) = S(DOC) = √(S(BOC)·S(AOD))

Статистика: 58% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: Дано: трапеция ABCD, BC ‖ AD, BC = 5, AD = 15, S(BOC) = 10 Найти: S(ABCD) 1. △BOC ~ △AOD (по двум углам: ∠BOC = ∠AOD как вертикальные, ∠OBC = ∠ODA как накрест лежащие) 2. k = BC/AD = 1/3 3. S(AOD) = S(BOC) · (AD/BC)² = 10 · 9 = 90 4. S(AOB) = S(DOC) = √(S(BOC) · S(AOD)) = √(10·90) = √900 = 30 5. S(ABCD) = 10 + 90 + 30 + 30 = 160 Ответ: 160

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: решение верное, все шаги обоснованы
• 1 балл: ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 25 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача повышенной сложности

Вопрос: В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники AA₁C и BB₁C подобны, и найдите отношение A₁C к B₁C, если AC = 10 и BC = 8.

Правильный ответ: 1.25

Решение:

1. ∠AA₁C = ∠BB₁C = 90° (AA₁ и BB₁ — высоты)
2. ∠C — общий угол треугольников AA₁C и BB₁C
3. По двум углам: △AA₁C ~ △BB₁C
4. Из подобия: A₁C/B₁C = AC/BC = 10/8 = 5/4 = 1,25

Типичная ошибка: Высоты образуют прямые углы — используйте это для доказательства подобия

Совет: Два прямых угла + общий угол = подобие по двум углам

Статистика: 65% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: Дано: △ABC — остроугольный, AA₁ ⊥ BC, BB₁ ⊥ AC, AC = 10, BC = 8 Доказать: △AA₁C ~ △BB₁C. Найти A₁C/B₁C. 1. В △AA₁C: ∠AA₁C = 90° (AA₁ — высота) В △BB₁C: ∠BB₁C = 90° (BB₁ — высота) 2. ∠ACB = ∠BCA — общий угол 3. По двум углам (90° и ∠C): △AA₁C ~ △BB₁C 4. Из подобия: AA₁C/BB₁C → A₁C/B₁C = AC/BC = 10/8 = 5/4 Ответ: A₁C/B₁C = 5/4 = 1,25

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: доказательство подобия верное, отношение найдено верно с обоснованием
• 1 балл: идея решения верная, но доказательство неполное
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла