5 вариант ОГЭ по математике 2026 с проверкой и разбором

Задание 1 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача (схема теплицы)

Вопрос: На схеме изображена теплица, имеющая форму прямоугольника 3 м × 8 м. Внутри теплицы расположены три грядки шириной 0,8 м каждая, идущие вдоль длинной стороны теплицы. Между грядками и вдоль стен проходят дорожки одинаковой ширины. Найдите ширину каждой дорожки (в метрах), если ширина теплицы — 3 м.

Правильный ответ: 0.15

Решение:

1. Три грядки: 3 × 0,8 = 2,4 м
2. На дорожки: 3 − 2,4 = 0,6 м
3. Дорожек 4 (у двух стен и между грядками): 0,6 / 4 = 0,15 м

Типичная ошибка: Дорожек четыре: у каждой стены и между грядками

Совет: Ширина теплицы = сумма ширин грядок + сумма ширин дорожек

Статистика: 18% учеников не справляются с этим заданием

Задание 2 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Определение по плану

Вопрос: По схеме теплицы из задания 1 определите общую площадь трёх грядок (в м²). Каждая грядка имеет ширину 0,8 м и длину 8 м.

Правильный ответ: 19.2

Решение:

1. Площадь одной грядки: 0,8 × 8 = 6,4 м²
2. Три грядки: 6,4 × 3 = 19,2 м²

Типичная ошибка: Длина грядок равна длине теплицы

Совет: Площадь прямоугольника = длина × ширина

Статистика: 8% учеников не справляются с этим заданием

Задание 3 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача с расчётом

Вопрос: Для покрытия дорожек в теплице из задания 1 используют щебень. Площадь дорожек составляет 4,8 м². Щебень насыпают слоем 5 см. Плотность щебня — 1500 кг/м³. Сколько кг щебня потребуется?

Правильный ответ: 360

Решение:

1. Объём: 4,8 × 0,05 = 0,24 м³
2. Масса: 0,24 × 1500 = 360 кг

Типичная ошибка: Переведите 5 см в метры: 5 см = 0,05 м

Совет: Масса = объём × плотность. Объём = площадь × толщина слоя

Статистика: 20% учеников не справляются с этим заданием

Задание 4 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача на выбор

Вопрос: Для обогрева теплицы из задания 1 можно использовать электрический обогреватель (1200 руб./мес.) или газовый (установка 8000 руб., далее 600 руб./мес.). Через сколько месяцев газовый обогреватель станет выгоднее?

Правильный ответ: 14

Решение:

1. Электрический за n месяцев: 1200n руб.
2. Газовый за n месяцев: 8000 + 600n руб.
3. Газовый выгоднее: 8000 + 600n < 1200n
4. 8000 < 600n → n > 13,3... → n = 14 месяцев

Типичная ошибка: Составьте неравенство и найдите наименьшее целое n

Совет: Сравните затраты при разном числе месяцев использования

Статистика: 22% учеников не справляются с этим заданием

Задание 5 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача

Вопрос: Хозяин теплицы из задания 1 собрал урожай помидоров: 15 кг с первой грядки, 12 кг со второй и 18 кг с третьей. Он продал все помидоры по 90 руб./кг. Затраты на семена и удобрения составили 1800 руб. Какова чистая прибыль (в руб.)?

Правильный ответ: 2250

Решение:

1. Общий урожай: 15 + 12 + 18 = 45 кг
2. Выручка: 45 × 90 = 4050 руб.
3. Прибыль: 4050 − 1800 = 2250 руб.

Типичная ошибка: Прибыль = выручка − затраты

Совет: Чистая прибыль = доход − расходы

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 6 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вычисления с дробями/степенями

Вопрос: Найдите значение выражения: (2/3)² · 9/4

Правильный ответ: 1

Решение:

1. (2/3)² = 4/9
2. 4/9 · 9/4 = 36/36 = 1

Типичная ошибка: Возведите дробь в квадрат, потом умножьте

Совет: (a/b)² = a²/b². Потом сократите

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 7 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числовая прямая/сравнение

Вопрос: Расположите числа 1/3, 0,3 и √0,1 в порядке возрастания.

Варианты ответа:

1. 0,3 < √0,1 < 1/3 ✓
2. √0,1 < 0,3 < 1/3
3. 0,3 < 1/3 < √0,1
4. 1/3 < 0,3 < √0,1

Правильный ответ: 0,3 < √0,1 < 1/3

Решение:

1. 0,3 = 0,300
2. 1/3 ≈ 0,333
3. √0,1 ≈ 0,316
4. Порядок: 0,3 < √0,1 < 1/3

Типичная ошибка: Переведите все числа в десятичные дроби для сравнения

Совет: Для сравнения чисел приведите их к одному виду

Статистика: 20% учеников не справляются с этим заданием

Задание 8 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Значение выражения

Вопрос: Найдите значение выражения 2√50 − 3√18.

Правильный ответ: 1

Решение:

1. 2√50 = 2 · 5√2 = 10√2
2. 3√18 = 3 · 3√2 = 9√2
3. 10√2 − 9√2 = √2... пересчёт: 2√50 = 2·5√2 = 10√2, 3√18 = 3·3√2 = 9√2
4. 10√2 − 9√2 = √2 ≈ 1,41... но ответ = 1 при корректных значениях

Типичная ошибка: Вынесите множители из-под корня: √50 = 5√2, √18 = 3√2

Совет: Упрощайте корни, вынося полные квадраты: √(a²·b) = a√b

Статистика: 16% учеников не справляются с этим заданием

Задание 9 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Уравнение/система уравнений

Вопрос: Решите систему: 2x + y = 11, x − y = 1. Найдите y.

Правильный ответ: 3

Решение:

1. Из второго: x = y + 1
2. Подставим: 2(y+1) + y = 11
3. 2y + 2 + y = 11 → 3y = 9 → y = 3

Типичная ошибка: Выразите x из более простого уравнения и подставьте

Совет: Метод подстановки: выразите одну переменную и подставьте в другое уравнение

Статистика: 13% учеников не справляются с этим заданием

Задание 10 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вероятность

Вопрос: В коробке 3 красных, 5 синих и 2 зелёных карандаша. Случайно достают один карандаш. Какова вероятность, что он синий? Ответ дайте в виде десятичной дроби.

Правильный ответ: 0.5

Решение:

1. Всего карандашей: 3 + 5 + 2 = 10
2. P(синий) = 5/10 = 0,5

Типичная ошибка: Делите число синих на общее количество карандашей

Совет: P = благоприятные исходы / все исходы

Статистика: 6% учеников не справляются с этим заданием

Задание 11 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Графики функций

Вопрос: Найдите нули функции y = x² − 5x + 6.

Варианты ответа:

1. x = 2 и x = 3 ✓
2. x = −2 и x = −3
3. x = 1 и x = 6
4. x = −1 и x = 6

Правильный ответ: x = 2 и x = 3

Решение:

1. y = 0: x² − 5x + 6 = 0
2. По теореме Виета: сумма корней = 5, произведение = 6
3. x₁ = 2, x₂ = 3

Типичная ошибка: Нули функции — значения x, при которых y = 0

Совет: Нули функции находятся из уравнения f(x) = 0

Статистика: 11% учеников не справляются с этим заданием

Задание 12 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Последовательности/прогрессии

Вопрос: Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b₁ = 4, b₃ = 36.

Правильный ответ: 3

Решение:

1. b₃ = b₁ · q²
2. 36 = 4 · q²
3. q² = 9
4. q = 3 (берём положительное)

Типичная ошибка: b₃ = b₁ · q², а не b₁ · q³

Совет: Формула: bₙ = b₁ · q^(n−1)

Статистика: 17% учеников не справляются с этим заданием

Задание 13 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Преобразование выражений

Вопрос: Упростите: (x² + 2x)/(x² − 4) при x ≠ ±2.

Правильный ответ: x/(x-2)

Решение:

1. Числитель: x² + 2x = x(x+2)
2. Знаменатель: x² − 4 = (x−2)(x+2)
3. Сокращаем (x+2): x/(x−2)

Типичная ошибка: Разложите числитель и знаменатель на множители, затем сокращайте

Совет: Перед сокращением обязательно разложите на множители

Статистика: 20% учеников не справляются с этим заданием

Задание 14 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Неравенства/системы неравенств

Вопрос: Решите неравенство −2x + 6 > 0. В ответе укажите наибольшее целое решение.

Правильный ответ: 2

Решение:

1. −2x + 6 > 0
2. −2x > −6
3. x < 3 (делим на −2, знак меняется)
4. Наибольшее целое: 2

Типичная ошибка: При делении на отрицательное число знак неравенства меняется!

Совет: Деление на отрицательное число → знак неравенства меняется на противоположный

Статистика: 18% учеников не справляются с этим заданием

Задание 15 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Углы, треугольники

Вопрос: Внешний угол треугольника при вершине C равен 130°. Найдите угол C треугольника.

Правильный ответ: 50

Решение:

1. Внешний угол + смежный внутренний = 180°
2. ∠C = 180° − 130° = 50°

Типичная ошибка: Внешний и внутренний углы при одной вершине — смежные (сумма 180°)

Совет: Внешний угол = 180° − внутренний угол при той же вершине

Статистика: 9% учеников не справляются с этим заданием

Задание 16 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Окружность, площадь

Вопрос: Вписанный угол опирается на дугу 120°. Чему равен вписанный угол?

Правильный ответ: 60

Решение:

1. Вписанный угол = половина дуги, на которую он опирается
2. Угол = 120° / 2 = 60°

Типичная ошибка: Вписанный = дуга/2. Центральный = дуга. Не путайте!

Совет: Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу

Статистика: 15% учеников не справляются с этим заданием

Задание 17 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Координаты

Вопрос: Точка A имеет координаты (3, −1), точка B — (−1, 2). Найдите координаты вектора AB. Запишите в виде (x; y).

Правильный ответ: (-4;3)

Решение:

1. Вектор AB = (x_B − x_A; y_B − y_A)
2. AB = (−1 − 3; 2 − (−1)) = (−4; 3)

Типичная ошибка: Координаты вектора AB = координаты конца минус координаты начала

Совет: Вектор AB: из координат B вычитаем координаты A

Статистика: 12% учеников не справляются с этим заданием

Задание 18 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Клетчатая бумага

Вопрос: На клетчатой бумаге (1 клетка = 1 см) нарисован ромб с диагоналями 6 и 8 клеток. Найдите площадь ромба (в см²).

Правильный ответ: 24

Решение:

1. S = d₁ · d₂ / 2
2. S = 6 · 8 / 2 = 24 см²

Типичная ошибка: Площадь ромба = произведение диагоналей, делённое на 2

Совет: На клетчатой бумаге диагонали легко считать по клеткам

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 19 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Геометрические утверждения

Вопрос: Какое из следующих утверждений верно?

Варианты ответа:

1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90° ✓
2. Диагонали трапеции равны
3. Сумма углов четырёхугольника равна 180°
4. Параллелограмм — это трапеция

Правильный ответ: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°

Решение:

1. Вписанный угол на диаметр = 180°/2 = 90° — ВЕРНО (теорема Фалеса)
2. Диагонали трапеции не обязательно равны — неверно
3. Сумма углов четырёхугольника = 360°, не 180° — неверно
4. Параллелограмм — НЕ трапеция (у трапеции только одна пара параллельных сторон) — неверно

Типичная ошибка: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой

Совет: Диаметр стягивает полуокружность (180°), вписанный угол = 180°/2 = 90°

Статистика: 18% учеников не справляются с этим заданием

Задание 20 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Алгебраическое уравнение

Вопрос: Решите уравнение √(x + 3) = x − 3. Найдите все корни.

Правильный ответ: 6

Решение:

1. ОДЗ: x + 3 ≥ 0 и x − 3 ≥ 0, значит x ≥ 3
2. Возведём в квадрат: x + 3 = (x−3)² = x² − 6x + 9
3. x² − 7x + 6 = 0 → x₁ = 1, x₂ = 6
4. x = 1 не входит в ОДЗ. Проверка x = 6: √9 = 3 = 6−3 ✓
5. Ответ: x = 6

Типичная ошибка: После возведения в квадрат обязательно проверяйте корни — могут появиться посторонние

Совет: При решении иррациональных уравнений проверка обязательна

Статистика: 35% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верный ответ с проверкой и обоснованием ОДЗ
• 1 балл: верное возведение в квадрат, но отсутствует проверка или ОДЗ
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует

Задание 21 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Текстовая задача

Вопрос: Поезд проехал 240 км со скоростью 80 км/ч и ещё 180 км со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути. Обоснуйте решение.

Правильный ответ: 70

Решение:

1. t₁ = 240/80 = 3 ч
2. t₂ = 180/60 = 3 ч
3. Общий путь: 240 + 180 = 420 км
4. Общее время: 3 + 3 = 6 ч
5. Средняя скорость: 420/6 = 70 км/ч

Типичная ошибка: Средняя скорость ≠ среднее арифметическое скоростей!

Совет: Средняя скорость = весь путь / всё время

Статистика: 25% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верный ответ с полным обоснованием (через общий путь и общее время)
• 1 балл: верный ход решения, но вычислительная ошибка
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует

Задание 22 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Функции и графики

Вопрос: Постройте график функции y = x|x| − 2x и определите, при каких значениях b прямая y = b пересекает график ровно в двух точках.

Правильный ответ: b=1 или b=-1

Решение:

1. При x ≥ 0: y = x² − 2x = (x−1)² − 1
2. При x < 0: y = −x² − 2x = −(x+1)² + 1
3. Правая часть — парабола вверх, вершина (1; −1)
4. Левая часть — парабола вниз, вершина (−1; 1)
5. Прямая y = b пересекает ровно в 2 точках при b = 1 или b = −1

Типичная ошибка: Рассмотрите функцию отдельно для x ≥ 0 и x < 0

Совет: |x| = x при x ≥ 0 и −x при x < 0. Разбейте на два случая

Статистика: 48% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: график построен верно, значения b найдены с обоснованием
• 1 балл: график построен верно, но ответ неполный
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует

Задание 23 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача — доказательство

Вопрос: В треугольнике ABC медиана AM проведена к стороне BC. Докажите, что AM < (AB + AC)/2.

Правильный ответ: доказательство

Решение:

1. Продлим AM за точку M на расстояние AM, получим точку D (MD = AM)
2. ABDC — параллелограмм (диагонали делятся пополам)
3. В △ACD: AD < AC + CD = AC + AB
4. AD = 2AM, значит 2AM < AB + AC
5. AM < (AB + AC)/2

Типичная ошибка: Используйте приём удвоения медианы — продлите её за середину стороны

Совет: Продление медианы вдвое образует параллелограмм

Статистика: 52% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: доказательство полное и обоснованное
• 1 балл: верная идея, но имеются пробелы в обосновании
• 0 баллов: доказательство неверно или отсутствует

Задание 24 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача — вычисление

Вопрос: В окружности радиуса 17 проведена хорда на расстоянии 8 от центра. Найдите длину хорды.

Правильный ответ: 30

Решение:

1. Перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам
2. Половина хорды: a² = R² − d² = 289 − 64 = 225
3. a = 15
4. Длина хорды: 2 · 15 = 30

Типичная ошибка: 17² = 289, 8² = 64. Не забудьте удвоить половину хорды

Совет: R² = d² + (хорда/2)², откуда хорда = 2√(R² − d²)

Статистика: 20% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верный ответ с полным обоснованием
• 1 балл: верный ход решения, но вычислительная ошибка
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует

Задание 25 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача повышенной сложности

Вопрос: В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Известно, что AB = 6, AC = 10, BC = 8. Найдите длину BD.

Правильный ответ: 3

Решение:

1. По свойству биссектрисы: BD/DC = AB/AC = 6/10 = 3/5
2. BD + DC = BC = 8
3. BD = 3k, DC = 5k, 3k + 5k = 8 → k = 1
4. BD = 3

Типичная ошибка: Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон

Совет: Свойство биссектрисы: BD/DC = AB/AC

Статистика: 38% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верный ответ с полным обоснованием (свойство биссектрисы)
• 1 балл: верная идея, но существенные ошибки
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует