5 вариант ОГЭ по математике 2026 с проверкой и разбором

Задание 1 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числа и вычисления

Вопрос: Найдите значение выражения: 5/6 − 1/3 + 1/2

Правильный ответ: 1

Решение:

1. Приведём к общему знаменателю 6:
2. 5/6 − 2/6 + 3/6 = (5 − 2 + 3)/6 = 6/6 = 1

Типичная ошибка: Общий знаменатель для 6, 3, 2 — это 6

Совет: НОК знаменателей — наименьший общий знаменатель для сложения дробей

Задание 2 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числовая прямая

Вопрос: Какое из чисел отмечено на координатной прямой между точками 5 и 6?

Варианты ответа:

1. √30 ✓
2. √37
3. √24
4. √40

Правильный ответ: √30

Решение:

1. √25 = 5 и √36 = 6
2. Нужно число, квадрат которого между 25 и 36
3. √30 ≈ 5,477 — подходит (между 5 и 6)
4. √37 ≈ 6,083 — не подходит (больше 6)

Типичная ошибка: 25 < 30 < 36, значит 5 < √30 < 6

Совет: Ключевые квадраты: 25, 36, 49 — от них оценивайте значения корней

Задание 3 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Алгебраические выражения

Вопрос: Упростите выражение (3a − 2)² − 9a² и найдите его значение при a = 5

Правильный ответ: -56

Решение:

1. Раскрываем: (3a−2)² = 9a² − 12a + 4
2. Вычитаем 9a²: 9a² − 12a + 4 − 9a² = −12a + 4
3. При a = 5: −12·5 + 4 = −60 + 4 = −56

Типичная ошибка: (3a−2)² = 9a² − 12a + 4. Удвоенное произведение: 2·3a·2 = 12a

Совет: (a−b)² = a² − 2ab + b². Не забудьте удвоенное произведение

Задание 4 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Уравнения

Вопрос: Решите уравнение x² − 7x + 12 = 0. В ответе укажите сумму корней.

Правильный ответ: 7

Решение:

1. По теореме Виета: сумма корней = 7
2. Проверим: произведение = 12
3. x₁ = 3, x₂ = 4 (3+4=7, 3·4=12)
4. Сумма корней: 7

Типичная ошибка: По теореме Виета при a=1: сумма корней = −(−7) = 7

Совет: По теореме Виета сумма корней = −b/a (при a=1 это просто −b)

Задание 5 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Неравенства

Вопрос: Решите неравенство 5 − 2x < 1. В ответе укажите наименьшее целое решение.

Правильный ответ: 3

Решение:

1. 5 − 2x < 1
2. −2x < −4
3. x > 2 (делим на −2, знак меняется!)
4. Наименьшее целое: 3

Типичная ошибка: При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный

Совет: Деление неравенства на отрицательное число: знак меняется

Задание 6 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Последовательности

Вопрос: В арифметической прогрессии a₁ = 100, d = −7. Найдите a₁₅.

Правильный ответ: 2

Решение:

1. aₙ = a₁ + (n−1)·d
2. a₁₅ = 100 + 14·(−7)
3. a₁₅ = 100 − 98 = 2

Типичная ошибка: При отрицательной разности члены убывают — внимательно считайте

Совет: Проверяйте: если d < 0, члены должны уменьшаться

Задание 7 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Графики функций

Вопрос: Найдите значение функции y = x² − 6x + 9 при x = 3.

Правильный ответ: 0

Решение:

1. y = 3² − 6·3 + 9
2. y = 9 − 18 + 9 = 0
3. Заметим: x²−6x+9 = (x−3)², при x=3: (3−3)² = 0

Типичная ошибка: Подставляйте значение аккуратно — следите за знаками

Совет: Попробуйте распознать формулу сокращённого умножения перед подстановкой

Задание 8 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Системы уравнений

Вопрос: Решите систему: 4x − y = 10, x + y = 5. Найдите x.

Правильный ответ: 3

Решение:

1. Сложим оба уравнения: 4x − y + x + y = 10 + 5
2. 5x = 15
3. x = 3

Типичная ошибка: При сложении y сокращается — это метод сложения

Совет: Метод сложения удобен, когда коэффициенты при одной переменной противоположны

Задание 9 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Статистика

Вопрос: Набор данных: 12, 14, 18, 14, 22, 14. Найдите медиану.

Правильный ответ: 14

Решение:

1. Упорядочим: 12, 14, 14, 14, 18, 22
2. Чётное количество (6) → медиана = среднее двух средних
3. Средние: 3-й и 4-й элементы: 14 и 14
4. Медиана = (14+14)/2 = 14

Типичная ошибка: При чётном количестве данных медиана — среднее арифметическое двух средних

Совет: Не забудьте сначала упорядочить данные, потом искать медиану

Задание 10 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вероятность

Вопрос: Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков равна 7? Ответ дайте в виде десятичной дроби (округлите до сотых).

Правильный ответ: 0.17

Решение:

1. Всего исходов: 6 · 6 = 36
2. Сумма 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — 6 исходов
3. P = 6/36 = 1/6 ≈ 0,17

Типичная ошибка: Перечислите все комбинации, дающие сумму 7, не пропустите пары

Совет: При бросании двух кубиков всего 36 равновероятных исходов

Задание 11 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Преобразования выражений

Вопрос: Упростите: (4x² − 1)/(2x + 1)

Варианты ответа:

1. 2x − 1 ✓
2. 2x + 1
3. 4x − 1
4. x − 1

Правильный ответ: 2x − 1

Решение:

1. Числитель: 4x² − 1 = (2x)² − 1² = (2x−1)(2x+1)
2. Сокращаем (2x+1): (2x−1)(2x+1)/(2x+1) = 2x − 1
3. Условие: x ≠ −1/2

Типичная ошибка: 4x² − 1 — это разность квадратов (2x)² − 1²

Совет: Разность квадратов: a² − b² = (a−b)(a+b)

Задание 12 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Текстовая задача

Вопрос: Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 108 км. Скорости 15 км/ч и 12 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Правильный ответ: 4

Решение:

1. Скорость сближения: 15 + 12 = 27 км/ч
2. Время до встречи: 108/27 = 4 часа

Типичная ошибка: При встречном движении скорости складываются

Совет: Время = расстояние / скорость сближения

Задание 13 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Функции и графики

Вопрос: При каком значении k прямая y = kx − 3 проходит через точку (2, 5)?

Правильный ответ: 4

Решение:

1. Подставим точку (2, 5): 5 = 2k − 3
2. 2k = 8
3. k = 4

Типичная ошибка: Подставьте x и y из координат точки в уравнение прямой

Совет: Точка лежит на прямой, если её координаты удовлетворяют уравнению

Задание 14 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Числовые последовательности

Вопрос: В геометрической прогрессии b₁ = 3, q = −2. Найдите b₅.

Правильный ответ: 48

Решение:

1. bₙ = b₁ · q^(n−1)
2. b₅ = 3 · (−2)⁴
3. (−2)⁴ = 16
4. b₅ = 3 · 16 = 48

Типичная ошибка: Чётная степень отрицательного числа даёт положительный результат

Совет: (−a)^n: чётная степень — положительный результат, нечётная — отрицательный

Задание 15 (2 балла, уровень: базовый)

Тема: Треугольники

Вопрос: В прямоугольном треугольнике гипотенуза 25, один катет 7. Найдите другой катет.

Правильный ответ: 24

Решение:

1. По теореме Пифагора: a² = c² − b²
2. a² = 625 − 49 = 576
3. a = 24

Типичная ошибка: (7, 24, 25) — пифагорова тройка. Проверка: 49 + 576 = 625 = 25²

Совет: Запомните тройку (7, 24, 25) — она часто встречается в задачах

Задание 16 (2 балла, уровень: базовый)

Тема: Площади

Вопрос: Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 10 и 16 и боковой стороной 5.

Правильный ответ: 52

Решение:

1. Разность оснований: 16 − 10 = 6, на каждую сторону: 3
2. Высота: h² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, h = 4
3. S = (10+16)/2 · 4 = 13 · 4 = 52

Типичная ошибка: Сначала найдите высоту через теорему Пифагора

Совет: В равнобедренной трапеции высота находится через боковую сторону и разность оснований

Задание 17 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Окружность

Вопрос: Два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу 100°. Чему равна сумма этих двух вписанных углов?

Правильный ответ: 100

Решение:

1. Каждый вписанный угол = половина дуги = 100°/2 = 50°
2. Сумма двух таких углов: 50° + 50° = 100°

Типичная ошибка: Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой

Совет: Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны

Задание 18 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Четырёхугольники

Вопрос: Диагонали ромба 14 и 48. Найдите периметр ромба.

Правильный ответ: 100

Решение:

1. Половины диагоналей: 7 и 24
2. Сторона ромба: a² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625
3. a = 25
4. Периметр: 4 · 25 = 100

Типичная ошибка: Все четыре стороны ромба равны, поэтому периметр = 4 · сторона

Совет: Сторону ромба находите по теореме Пифагора из половин диагоналей

Задание 19 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Подобие треугольников

Вопрос: Высота дерева отбрасывает тень 6 м, а палка длиной 2 м — тень 1,5 м. Найдите высоту дерева.

Правильный ответ: 8

Решение:

1. Треугольники подобны (углы равны — солнце одинаково)
2. Коэффициент: 6/1,5 = 4
3. Высота дерева: 2 · 4 = 8 м

Типичная ошибка: Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны

Совет: Задачи на тень — классический пример подобия треугольников

Задание 20 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Уравнения и системы

Вопрос: Решите уравнение: x² − 16 = 0. Найдите произведение корней.

Правильный ответ: -16

Решение:

1. x² = 16
2. x = 4 или x = −4
3. Произведение: 4 · (−4) = −16

Типичная ошибка: x² = 16 имеет два корня: положительный и отрицательный

Совет: x² = a при a > 0 имеет два корня: x = ±√a

Задание 21 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Алгебраические дроби

Вопрос: Упростите: 3/(x−1) − 3/(x+1)

Варианты ответа:

1. 6/(x²−1) ✓
2. 0
3. 6x/(x²−1)
4. −6/(x²−1)

Правильный ответ: 6/(x²−1)

Решение:

1. Общий знаменатель: (x−1)(x+1) = x²−1
2. = (3(x+1) − 3(x−1)) / (x²−1)
3. = (3x+3 − 3x+3) / (x²−1)
4. = 6/(x²−1)

Типичная ошибка: При вычитании дробей раскрывайте скобки в числителе аккуратно

Совет: При вычитании дробей меняйте знаки у ВСЕХ слагаемых вычитаемого числителя

Задание 22 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Практическая задача

Вопрос: Мастер делает деталь за 20 минут, ученик — за 30 минут. Сколько деталей они сделают за 2 часа совместной работы?

Правильный ответ: 10

Решение:

1. Производительность мастера: 1/20 детали/мин = 3 детали/час
2. Производительность ученика: 1/30 детали/мин = 2 детали/час
3. Совместная: 3 + 2 = 5 деталей/час
4. За 2 часа: 5 · 2 = 10 деталей

Типичная ошибка: Переведите время в одинаковые единицы (минуты или часы)

Совет: Совместная производительность = сумма индивидуальных производительностей

Задание 23 (1 балл, уровень: высокий)

Тема: Уравнения высокой сложности

Вопрос: Решите уравнение x⁴ − 13x² + 36 = 0. Укажите наименьший положительный корень.

Правильный ответ: 2

Решение:

1. Замена: t = x², получаем t² − 13t + 36 = 0
2. По теореме Виета: t₁ = 4, t₂ = 9 (сумма 13, произведение 36)
3. x² = 4 → x = ±2; x² = 9 → x = ±3
4. Наименьший положительный: 2

Типичная ошибка: Оба значения t положительны, значит каждое даёт по два корня

Совет: Биквадратное уравнение: замена t = x², решить, вернуть x = ±√t

Задание 24 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрия — доказательство

Вопрос: В прямоугольнике ABCD диагональ AC = 20. Найдите BD.

Правильный ответ: 20

Решение:

1. В прямоугольнике диагонали равны
2. AC = BD = 20

Типичная ошибка: Прямоугольник — частный случай параллелограмма, в котором диагонали равны

Совет: Свойства прямоугольника: все углы 90°, диагонали равны и делятся пополам

Задание 25 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрия — вычисление

Вопрос: В окружности радиуса 17 проведена хорда на расстоянии 8 от центра. Найдите длину хорды.

Правильный ответ: 30

Решение:

1. Перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам
2. Половина хорды: a² = R² − d² = 289 − 64 = 225, a = 15
3. Длина хорды: 2 · 15 = 30

Типичная ошибка: 17² = 289, 8² = 64. Не забудьте удвоить половину хорды

Совет: R² = d² + (хорда/2)², откуда хорда = 2√(R² − d²)