4 вариант ОГЭ по математике 2026 с проверкой и разбором

Задание 1 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача (план местности)

Вопрос: На плане изображён земельный участок в форме трапеции. Параллельные стороны (основания): 40 м и 60 м, высота трапеции — 30 м. На участке расположены: дом 10×12 м, сарай 4×6 м, колодец (круг радиуса 1 м, площадь ≈ 3 м²). Остальная площадь — газон. Найдите площадь газона (в м²).

Правильный ответ: 1353

Решение:

1. Площадь трапеции: (40 + 60)/2 × 30 = 50 × 30 = 1500 м²
2. Дом: 10 × 12 = 120 м²
3. Сарай: 4 × 6 = 24 м²
4. Колодец: ≈ 3 м²
5. Газон: 1500 − 120 − 24 − 3 = 1353 м²

Типичная ошибка: Не забудьте, что участок — трапеция, а не прямоугольник

Совет: Площадь трапеции = (a + b)/2 × h

Статистика: 15% учеников не справляются с этим заданием

Задание 2 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Определение по плану

Вопрос: По плану участка из задания 1 определите: дом расположен на расстоянии 5 м от одного из оснований трапеции (60 м) и 8 м от боковой стороны. Какое расстояние от дома до противоположного основания (40 м), если высота участка 30 м, а дом имеет глубину 12 м?

Правильный ответ: 13

Решение:

1. Высота участка: 30 м
2. От основания 60 м до дома: 5 м
3. Глубина дома: 12 м
4. От дома до основания 40 м: 30 − 5 − 12 = 13 м

Типичная ошибка: Расстояние считается по перпендикуляру к основаниям (по высоте трапеции)

Совет: Сумма всех расстояний по высоте должна равняться высоте участка

Статистика: 14% учеников не справляются с этим заданием

Задание 3 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача с расчётом

Вопрос: Хозяин участка из задания 1 решил засеять газон травой. Расход семян — 40 г/м². Семена продаются в упаковках по 1 кг. Сколько упаковок нужно купить для газона площадью 1353 м²?

Правильный ответ: 55

Решение:

1. Расход: 1353 × 40 = 54 120 г = 54,12 кг
2. Упаковок: 54,12 / 1 = 54,12 → нужно 55 упаковок

Типичная ошибка: Округляйте количество упаковок вверх — дробное число упаковок купить нельзя

Совет: Переведите граммы в килограммы и округлите вверх

Статистика: 16% учеников не справляются с этим заданием

Задание 4 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача на выбор

Вопрос: Для крыши сарая (задание 1, 4×6 м) нужен кровельный материал. В магазине: профнастил по 350 руб./м² и металлочерепица по 520 руб./м². На сколько рублей профнастил дешевле металлочерепицы для крыши сарая?

Правильный ответ: 4080

Решение:

1. Площадь крыши: 4 × 6 = 24 м²
2. Профнастил: 24 × 350 = 8400 руб.
3. Металлочерепица: 24 × 520 = 12 480 руб.
4. Разница: 12 480 − 8400 = 4080 руб.

Типичная ошибка: Вычислите стоимость каждого варианта отдельно, затем найдите разницу

Совет: Разница стоимости = площадь × (цена₂ − цена₁)

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 5 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача

Вопрос: Хозяин участка из задания 1 хочет провести водопровод от колодца до дома. Длина трубы — 15 м. Стоимость трубы — 120 руб./м, стоимость работ по прокладке — 800 руб./м. Сколько рублей стоит проведение водопровода?

Правильный ответ: 13800

Решение:

1. Стоимость трубы: 15 × 120 = 1800 руб.
2. Стоимость работ: 15 × 800 = 12 000 руб.
3. Итого: 1800 + 12 000 = 13 800 руб.

Типичная ошибка: Сложите стоимость материалов и работ

Совет: Общая стоимость = длина × (цена трубы + цена работ)

Статистика: 8% учеников не справляются с этим заданием

Задание 6 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вычисления с дробями/степенями

Вопрос: Найдите значение выражения: 2,4 · 3 + 1,6 · 3 − 2 · 3

Правильный ответ: 6

Решение:

1. Вынесем общий множитель 3
2. 3 · (2,4 + 1,6 − 2) = 3 · 2
3. 3 · 2 = 6

Типичная ошибка: Объединяйте слагаемые с общим множителем для упрощения

Совет: Вынесение общего множителя — быстрый приём для устных вычислений

Статистика: 8% учеников не справляются с этим заданием

Задание 7 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числовая прямая/сравнение

Вопрос: Какое из чисел отмечено на координатной прямой между точками 4 и 5?

Варианты ответа:

1. √18 ✓
2. √26
3. √14
4. √30

Правильный ответ: √18

Решение:

1. √16 = 4 и √25 = 5
2. Нужно число, квадрат которого между 16 и 25
3. √18 ≈ 4,243 — подходит (между 4 и 5)
4. √26 ≈ 5,099 — не подходит (больше 5)

Типичная ошибка: Сравнивайте подкоренные выражения: 16 < 18 < 25, значит 4 < √18 < 5

Совет: Запомните квадраты чисел от 1 до 20 — это ускорит оценку корней

Статистика: 12% учеников не справляются с этим заданием

Задание 8 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Значение выражения

Вопрос: Найдите значение выражения (a + b)(a − b) при a = 7, b = 3.

Правильный ответ: 40

Решение:

1. (a+b)(a−b) = a² − b²
2. = 49 − 9 = 40
3. Или: (7+3)(7−3) = 10 · 4 = 40

Типичная ошибка: (a+b)(a−b) = a² − b² — формула разности квадратов

Совет: Разность квадратов: (a+b)(a−b) = a² − b²

Статистика: 9% учеников не справляются с этим заданием

Задание 9 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Уравнение/система уравнений

Вопрос: Решите уравнение 2x² − 8x = 0. В ответе укажите сумму корней.

Правильный ответ: 4

Решение:

1. Вынесем общий множитель: 2x(x − 4) = 0
2. 2x = 0 → x = 0
3. x − 4 = 0 → x = 4
4. Сумма: 0 + 4 = 4

Типичная ошибка: Не делите обе части на x — так потеряете корень x = 0

Совет: Никогда не делите уравнение на переменную — вынесите её как множитель

Статистика: 12% учеников не справляются с этим заданием

Задание 10 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вероятность

Вопрос: Из колоды в 36 карт вытаскивают одну. Какова вероятность достать туз? Ответ дайте в виде десятичной дроби (округлите до сотых).

Правильный ответ: 0.11

Решение:

1. В колоде 36 карт, тузов 4
2. P(туз) = 4/36 = 1/9
3. 1/9 ≈ 0,11

Типичная ошибка: В стандартной колоде 36 карт содержится 4 туза

Совет: Вероятность = число благоприятных / общее число исходов

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 11 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Графики функций

Вопрос: Графики y = 2x + 1 и y = −x + 7 пересекаются. Найдите координату x точки пересечения.

Варианты ответа:

1. 2 ✓
2. 3
3. 1
4. 4

Правильный ответ: 2

Решение:

1. В точке пересечения: 2x + 1 = −x + 7
2. 3x = 6
3. x = 2

Типичная ошибка: Для нахождения точки пересечения приравняйте правые части

Совет: Точка пересечения графиков — решение системы уравнений

Статистика: 11% учеников не справляются с этим заданием

Задание 12 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Последовательности/прогрессии

Вопрос: Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если a₁ = 2, d = 3.

Правильный ответ: 155

Решение:

1. a₁₀ = a₁ + 9d = 2 + 27 = 29
2. S₁₀ = (a₁ + a₁₀)/2 · n = (2 + 29)/2 · 10
3. S₁₀ = 31/2 · 10 = 155

Типичная ошибка: Формула суммы: Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n. Сначала найдите последний член

Совет: Сумма арифметической прогрессии: Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2

Статистика: 16% учеников не справляются с этим заданием

Задание 13 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Преобразование выражений

Вопрос: Упростите: (√3 + 1)² − 2√3

Правильный ответ: 4

Решение:

1. (√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3
2. 4 + 2√3 − 2√3 = 4

Типичная ошибка: (√3+1)² содержит удвоенное произведение 2·√3·1 = 2√3

Совет: При возведении в квадрат суммы с корнями не забывайте удвоенное произведение

Статистика: 18% учеников не справляются с этим заданием

Задание 14 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Неравенства/системы неравенств

Вопрос: Решите неравенство (x−3)/2 ≥ 4. В ответе укажите наименьшее целое решение.

Правильный ответ: 11

Решение:

1. (x−3)/2 ≥ 4
2. x − 3 ≥ 8
3. x ≥ 11
4. Наименьшее целое: 11

Типичная ошибка: Умножаем обе части на 2 (положительное число — знак не меняется)

Совет: При умножении неравенства на положительное число знак не меняется

Статистика: 14% учеников не справляются с этим заданием

Задание 15 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Углы, треугольники

Вопрос: В прямоугольном треугольнике катеты 8 и 15. Найдите гипотенузу.

Правильный ответ: 17

Решение:

1. По теореме Пифагора: c² = a² + b²
2. c² = 64 + 225 = 289
3. c = 17

Типичная ошибка: (8, 15, 17) — пифагорова тройка

Совет: Пифагоровы тройки: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)

Статистика: 7% учеников не справляются с этим заданием

Задание 16 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Окружность, площадь

Вопрос: Диагонали ромба равны 16 и 12. Найдите площадь ромба.

Правильный ответ: 96

Решение:

1. S = (d₁ · d₂) / 2
2. S = (16 · 12) / 2
3. S = 192 / 2 = 96

Типичная ошибка: Площадь ромба = произведение диагоналей, делённое на 2

Совет: S ромба = d₁·d₂/2

Статистика: 12% учеников не справляются с этим заданием

Задание 17 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Координаты

Вопрос: Найдите длину вектора AB, если A(−1, 3) и B(3, 0).

Правильный ответ: 5

Решение:

1. |AB| = √((3−(−1))² + (0−3)²)
2. = √(16 + 9) = √25 = 5

Типичная ошибка: Координаты вектора: (x₂ − x₁, y₂ − y₁). Длина через теорему Пифагора

Совет: |AB| = √((Δx)² + (Δy)²)

Статистика: 14% учеников не справляются с этим заданием

Задание 18 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Клетчатая бумага

Вопрос: На клетчатой бумаге (1 клетка = 1 см) нарисована трапеция с основаниями 4 и 8 клеток и высотой 3 клетки. Найдите площадь (в см²).

Правильный ответ: 18

Решение:

1. S = (a + b)/2 · h
2. S = (4 + 8)/2 · 3 = 6 · 3 = 18 см²

Типичная ошибка: На клетчатой бумаге основания и высоту можно считать по клеткам

Совет: Площадь трапеции = полусумма оснований × высота

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 19 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Геометрические утверждения

Вопрос: Какое из следующих утверждений верно?

Варианты ответа:

1. Существует прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны
2. Все углы ромба равны
3. Если в треугольнике есть прямой угол, то остальные два — острые
4. Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника ✓

Правильный ответ: Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника

Решение:

1. Прямоугольник с перпендикулярными диагоналями — это квадрат, но не любой прямоугольник — неверно в общем
2. Все углы ромба равны только в квадрате — неверно
3. Если есть прямой угол (90°), остальные два в сумме = 90°, оба острые — верно
4. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника — ВЕРНО

Типичная ошибка: Свойство параллелограмма: диагональ делит его на два равных треугольника

Совет: Вспомните определение и свойства параллелограмма

Статистика: 22% учеников не справляются с этим заданием

Задание 20 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Алгебраическое уравнение

Вопрос: Решите уравнение: x² + 2x − 15 = 0. Найдите все корни и укажите их произведение.

Правильный ответ: -15

Решение:

1. По теореме Виета: сумма корней = −2, произведение = −15
2. Подбор: x₁ = 3, x₂ = −5
3. Проверка: 3 + (−5) = −2 ✓, 3 · (−5) = −15 ✓
4. Произведение: −15

Типичная ошибка: По теореме Виета произведение корней = c/a

Совет: Теорема Виета даёт сумму и произведение корней без их нахождения

Статистика: 15% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верно найдены оба корня с обоснованием
• 1 балл: один корень верный или допущена вычислительная ошибка при верном подходе
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует

Задание 21 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Текстовая задача

Вопрос: Рабочий делает 12 деталей за 4 часа. Сколько деталей сделают 3 таких рабочих за 6 часов? Обоснуйте решение.

Правильный ответ: 54

Решение:

1. Производительность 1 рабочего: 12/4 = 3 детали/час
2. 3 рабочих: 3 · 3 = 9 деталей/час
3. За 6 часов: 9 · 6 = 54 детали

Типичная ошибка: Сначала найдите производительность одного, потом масштабируйте

Совет: Задачи на работу: находите скорость (единиц/час), потом считайте общий результат

Статистика: 22% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верный ответ с полным обоснованием (найдена производительность)
• 1 балл: верный ход решения, но вычислительная ошибка
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует

Задание 22 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Функции и графики

Вопрос: Постройте график функции y = (x² − 4x)/(x − 4) и определите, при каких значениях k прямая y = kx не пересекает график.

Правильный ответ: k=1

Решение:

1. y = x(x−4)/(x−4) = x при x ≠ 4
2. График — прямая y = x с выколотой точкой (4; 4)
3. y = kx не пересекает, когда k = 1 (совпадает, но точка (4;4) выколота)

Типичная ошибка: Сократите дробь и не забудьте об ОДЗ (x ≠ 4)

Совет: При сокращении дроби не забывайте исключить значения, обращающие знаменатель в 0

Статистика: 38% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верно построен график, найдено значение k с обоснованием
• 1 балл: график построен верно, но ответ неполный
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует

Задание 23 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача — доказательство

Вопрос: Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что точка O является серединой каждой диагонали.

Правильный ответ: доказательство

Решение:

1. Рассмотрим △AOB и △COD
2. AB ∥ CD и AB = CD (свойство параллелограмма)
3. ∠OAB = ∠OCD (накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей AC)
4. ∠OBA = ∠ODC (накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей BD)
5. △AOB = △COD (по стороне и двум прилежащим углам)
6. Значит AO = CO и BO = DO, т.е. O — середина каждой диагонали

Типичная ошибка: Используйте свойство параллельных сторон и признак равенства треугольников

Совет: Равенство треугольников доказывают через стороны и углы

Статистика: 40% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: доказательство полное и обоснованное
• 1 балл: ход доказательства верный, но имеются пробелы
• 0 баллов: доказательство неверно или отсутствует

Задание 24 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача — вычисление

Вопрос: Диагонали ромба равны 10 и 24. Найдите сторону ромба и его площадь.

Правильный ответ: 13; 120

Решение:

1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам
2. Половины диагоналей: 5 и 12
3. Сторона: a² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, a = 13
4. Площадь: S = d₁·d₂/2 = 10·24/2 = 120

Типичная ошибка: Используйте половины диагоналей и теорему Пифагора

Совет: Сторона ромба = гипотенуза прямоугольного треугольника из половин диагоналей

Статистика: 25% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верно найдены сторона и площадь с обоснованием
• 1 балл: найдена только сторона или только площадь, или допущена вычислительная ошибка
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует

Задание 25 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача повышенной сложности

Вопрос: В треугольнике ABC угол C = 90°, AC = 6, BC = 8. На стороне AB отмечена точка D так, что CD ⊥ AB. Найдите длину CD.

Правильный ответ: 4.8

Решение:

1. AB = √(AC² + BC²) = √(36 + 64) = √100 = 10
2. Площадь △ABC = (1/2)·AC·BC = (1/2)·6·8 = 24
3. Также S = (1/2)·AB·CD → 24 = (1/2)·10·CD
4. CD = 48/10 = 4,8

Типичная ошибка: Используйте два способа вычисления площади одного и того же треугольника

Совет: Площадь треугольника можно вычислить через разные пары (основание, высота)

Статистика: 35% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верный ответ с полным обоснованием
• 1 балл: верная идея, но существенные ошибки
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует