4 вариант ОГЭ по математике 2026 с проверкой и разбором

Задание 1 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числа и вычисления

Вопрос: Найдите значение выражения: 2,4 · 3 + 1,6 · 3 − 2 · 3

Правильный ответ: 6

Решение:

1. Вынесем общий множитель 3
2. 3 · (2,4 + 1,6 − 2) = 3 · 2
3. 3 · 2 = 6

Типичная ошибка: Объединяйте слагаемые с общим множителем для упрощения

Совет: Вынесение общего множителя — быстрый приём для устных вычислений

Задание 2 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числовая прямая

Вопрос: Какое из чисел отмечено на координатной прямой между точками 4 и 5?

Варианты ответа:

1. √18 ✓
2. √26
3. √14
4. √30

Правильный ответ: √18

Решение:

1. √16 = 4 и √25 = 5
2. Нужно число, квадрат которого между 16 и 25
3. √18 ≈ 4,243 — подходит (между 4 и 5)
4. √26 ≈ 5,099 — не подходит (больше 5)

Типичная ошибка: Сравнивайте подкоренные выражения: 16 < 18 < 25, значит 4 < √18 < 5

Совет: Запомните квадраты чисел от 1 до 20 — это ускорит оценку корней

Задание 3 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Алгебраические выражения

Вопрос: Найдите значение выражения (a + b)(a − b) при a = 7, b = 3

Правильный ответ: 40

Решение:

1. (a+b)(a−b) = a² − b²
2. = 49 − 9 = 40
3. Или напрямую: (7+3)(7−3) = 10 · 4 = 40

Типичная ошибка: (a+b)(a−b) = a²−b² — формула разности квадратов

Совет: Разность квадратов: (a+b)(a−b) = a² − b²

Задание 4 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Уравнения

Вопрос: Решите уравнение 2x² − 8x = 0. В ответе укажите сумму корней.

Правильный ответ: 4

Решение:

1. Вынесем общий множитель: 2x(x − 4) = 0
2. 2x = 0 → x = 0
3. x − 4 = 0 → x = 4
4. Сумма корней: 0 + 4 = 4

Типичная ошибка: Не делите обе части на x — так потеряете корень x = 0

Совет: Никогда не делите уравнение на переменную — вынесите её как множитель

Задание 5 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Неравенства

Вопрос: Решите неравенство (x−3)/2 ≥ 4. В ответе укажите наименьшее целое решение.

Правильный ответ: 11

Решение:

1. (x−3)/2 ≥ 4
2. x − 3 ≥ 8
3. x ≥ 11
4. Наименьшее целое: 11

Типичная ошибка: Умножаем обе части на 2 (положительное число — знак не меняется)

Совет: При умножении неравенства на положительное число знак не меняется

Задание 6 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Последовательности

Вопрос: Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если a₁ = 2, d = 3.

Правильный ответ: 155

Решение:

1. a₁₀ = a₁ + 9d = 2 + 27 = 29
2. S₁₀ = (a₁ + a₁₀)/2 · n = (2 + 29)/2 · 10
3. S₁₀ = 31/2 · 10 = 155

Типичная ошибка: Формула суммы: Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n. Сначала найдите последний член

Совет: Сумма арифметической прогрессии: Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2

Задание 7 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Графики функций

Вопрос: Графики y = 2x + 1 и y = −x + 7 пересекаются. Найдите координату x точки пересечения.

Правильный ответ: 2

Решение:

1. В точке пересечения: 2x + 1 = −x + 7
2. 3x = 6
3. x = 2

Типичная ошибка: Для нахождения точки пересечения приравняйте правые части уравнений

Совет: Точка пересечения графиков — решение системы уравнений

Задание 8 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Системы уравнений

Вопрос: Решите систему: x + 3y = 14, 2x − y = 0. Найдите y.

Правильный ответ: 4

Решение:

1. Из второго: 2x = y, значит x = y/2
2. Подставим: y/2 + 3y = 14
3. y/2 + 3y = 14 → 7y/2 = 14 → y = 4

Типичная ошибка: Из более простого уравнения выразите переменную и подставьте

Совет: Выбирайте уравнение, из которого проще выразить переменную

Задание 9 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Статистика

Вопрос: Набор данных: 3, 8, 3, 5, 3, 9, 11. Найдите размах выборки.

Правильный ответ: 8

Решение:

1. Максимум: 11
2. Минимум: 3
3. Размах = макс − мин = 11 − 3 = 8

Типичная ошибка: Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями

Совет: Размах = максимальное значение − минимальное значение

Задание 10 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вероятность

Вопрос: Из колоды в 36 карт вытаскивают одну. Какова вероятность достать туз? Ответ дайте в виде десятичной дроби (округлите до сотых).

Правильный ответ: 0.11

Решение:

1. В колоде 36 карт, тузов 4
2. P(туз) = 4/36 = 1/9
3. 1/9 ≈ 0,11

Типичная ошибка: В стандартной колоде 36 карт содержится 4 туза

Совет: Вероятность = число благоприятных исходов / общее число исходов

Задание 11 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Преобразования выражений

Вопрос: Упростите: (√3 + 1)² − 2√3

Варианты ответа:

1. 4 ✓
2. 2
3. 2√3
4. 6

Правильный ответ: 4

Решение:

1. (√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3
2. 4 + 2√3 − 2√3 = 4

Типичная ошибка: (√3+1)² содержит удвоенное произведение 2·√3·1 = 2√3

Совет: При возведении в квадрат суммы с корнями не забывайте удвоенное произведение

Задание 12 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Текстовая задача

Вопрос: В магазине проходит акция: скидка 15% на все товары. Сколько рублей стоит товар, цена которого без скидки 1200 рублей?

Правильный ответ: 1020

Решение:

1. Скидка: 1200 · 0,15 = 180 руб.
2. Цена со скидкой: 1200 − 180 = 1020 руб.
3. Или: 1200 · 0,85 = 1020 руб.

Типичная ошибка: Скидка 15% означает, что покупатель платит 85% от цены

Совет: Скидка p%: итоговая цена = начальная цена × (1 − p/100)

Задание 13 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Функции и графики

Вопрос: Найдите нули функции y = x² − 5x + 6.

Варианты ответа:

1. x = 2 и x = 3 ✓
2. x = −2 и x = −3
3. x = 1 и x = 6
4. x = −1 и x = 6

Правильный ответ: x = 2 и x = 3

Решение:

1. y = 0: x² − 5x + 6 = 0
2. По теореме Виета: сумма корней = 5, произведение = 6
3. x₁ = 2, x₂ = 3

Типичная ошибка: Нули функции — точки пересечения графика с осью x (где y = 0)

Совет: Нули функции находятся из уравнения f(x) = 0

Задание 14 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Числовые последовательности

Вопрос: Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b₁ = 4, b₃ = 36.

Правильный ответ: 3

Решение:

1. b₃ = b₁ · q²
2. 36 = 4 · q²
3. q² = 9
4. q = 3 (берём положительное значение)

Типичная ошибка: b₃ = b₁ · q², а не b₁ · q³ — степень на единицу меньше номера

Совет: Формула: bₙ = b₁ · q^(n−1), откуда можно найти q

Задание 15 (2 балла, уровень: базовый)

Тема: Треугольники

Вопрос: В прямоугольном треугольнике катеты 8 и 15. Найдите гипотенузу.

Правильный ответ: 17

Решение:

1. По теореме Пифагора: c² = a² + b²
2. c² = 64 + 225 = 289
3. c = 17

Типичная ошибка: (8, 15, 17) — пифагорова тройка. 8² = 64, 15² = 225, сумма = 289 = 17²

Совет: Пифагоровы тройки: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)

Задание 16 (2 балла, уровень: базовый)

Тема: Площади

Вопрос: Найдите площадь прямоугольной трапеции с основаниями 7 и 11 и высотой 8.

Правильный ответ: 72

Решение:

1. S = (a + b)/2 · h
2. S = (7 + 11)/2 · 8
3. S = 9 · 8 = 72

Типичная ошибка: Формула площади трапеции одинакова для всех типов трапеций

Совет: Площадь любой трапеции = полусумма оснований × высота

Задание 17 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Окружность

Вопрос: Вписанный угол опирается на дугу 160°. Чему равен вписанный угол?

Правильный ответ: 80

Решение:

1. Вписанный угол = половина дуги, на которую он опирается
2. Угол = 160° / 2 = 80°

Типичная ошибка: Вписанный угол всегда вдвое меньше дуги, на которую он опирается

Совет: Вписанный угол = дуга / 2. Это одно из ключевых свойств окружности

Задание 18 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Четырёхугольники

Вопрос: Диагонали ромба равны 16 и 12. Найдите площадь ромба.

Правильный ответ: 96

Решение:

1. S = (d₁ · d₂) / 2
2. S = (16 · 12) / 2
3. S = 192 / 2 = 96

Типичная ошибка: Площадь ромба = произведение диагоналей, делённое на 2

Совет: S ромба = d₁·d₂/2 — одна из двух формул площади ромба

Задание 19 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Подобие треугольников

Вопрос: Стороны подобных треугольников относятся как 2:5. Площадь большего 100 см². Найдите площадь меньшего.

Правильный ответ: 16

Решение:

1. Отношение площадей = k² = (2/5)² = 4/25
2. S_меньшего / S_большего = 4/25
3. S_меньшего = 100 · 4/25 = 16 см²

Типичная ошибка: Площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия

Совет: Отношение площадей подобных фигур = k², где k — коэффициент подобия

Задание 20 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Уравнения и системы

Вопрос: Решите уравнение: x² + 2x − 15 = 0. В ответе укажите произведение корней.

Правильный ответ: -15

Решение:

1. По теореме Виета: произведение корней = c/a = −15/1 = −15
2. Проверка: x₁ = 3, x₂ = −5
3. 3 · (−5) = −15 ✓

Типичная ошибка: По теореме Виета произведение корней = c (при a = 1)

Совет: Теорема Виета даёт сумму и произведение корней без их нахождения

Задание 21 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Алгебраические дроби

Вопрос: Упростите: (x² + 2x)/(x² − 4) при x ≠ ±2

Варианты ответа:

1. x/(x−2) ✓
2. x/(x+2)
3. (x+2)/x
4. 1

Правильный ответ: x/(x−2)

Решение:

1. Числитель: x² + 2x = x(x+2)
2. Знаменатель: x² − 4 = (x−2)(x+2)
3. Сокращаем (x+2): x(x+2)/((x−2)(x+2)) = x/(x−2)

Типичная ошибка: Разложите числитель и знаменатель на множители, затем сокращайте

Совет: Перед сокращением обязательно разложите на множители

Задание 22 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Практическая задача

Вопрос: Вклад 50000 рублей положен под 10% годовых (простые проценты). Какая сумма будет на счёте через 2 года?

Правильный ответ: 60000

Решение:

1. Проценты за 1 год: 50000 · 0,10 = 5000 руб.
2. Проценты за 2 года: 5000 · 2 = 10000 руб.
3. Итого: 50000 + 10000 = 60000 руб.

Типичная ошибка: При простых процентах проценты начисляются на начальную сумму каждый год

Совет: Простые проценты: S = P·(1 + r·t), где r — ставка, t — время в годах

Задание 23 (1 балл, уровень: высокий)

Тема: Уравнения высокой сложности

Вопрос: Решите уравнение √(x + 3) = x − 3. Найдите корень.

Правильный ответ: 6

Решение:

1. Условие: x + 3 ≥ 0 и x − 3 ≥ 0, значит x ≥ 3
2. Возведём в квадрат: x + 3 = (x−3)² = x² − 6x + 9
3. x² − 7x + 6 = 0
4. x₁ = 1, x₂ = 6
5. x = 1 не подходит (1 < 3). Ответ: x = 6
6. Проверка: √(6+3) = √9 = 3 = 6−3 ✓

Типичная ошибка: После возведения в квадрат обязательно проверяйте корни подстановкой

Совет: При решении иррациональных уравнений проверка обязательна — могут появиться посторонние корни

Задание 24 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрия — доказательство

Вопрос: Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. AO = 8, BO = 6. Найдите BD.

Правильный ответ: 12

Решение:

1. В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам
2. BO = OD = 6
3. BD = BO + OD = 6 + 6 = 12

Типичная ошибка: Диагонали параллелограмма делятся пополам точкой пересечения

Совет: Ключевое свойство параллелограмма: точка пересечения диагоналей — их середина

Задание 25 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрия — вычисление

Вопрос: В окружности радиуса 15 проведена хорда длиной 24. Найдите расстояние от центра до хорды.

Правильный ответ: 9

Решение:

1. Перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам: AM = 12
2. Треугольник OMA — прямоугольный
3. OM² = R² − AM² = 225 − 144 = 81
4. OM = 9

Типичная ошибка: Половина хорды = 24/2 = 12, а не 24

Совет: Из теоремы Пифагора: расстояние до хорды = √(R² − (хорда/2)²)