3 вариант ОГЭ по математике 2026 с проверкой и разбором

Задание 1 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача (план квартиры)

Вопрос: На плане изображена квартира. Коридор имеет форму прямоугольника 1,5 м × 6 м. Кухня — 3 м × 4 м. Комната — 4 м × 5 м. Ванная — 2 м × 2,5 м. Балкон — 1,2 м × 3 м. Найдите общую площадь квартиры (без балкона) в м².

Правильный ответ: 42

Решение:

1. Коридор: 1,5 × 6 = 9 м²
2. Кухня: 3 × 4 = 12 м²
3. Комната: 4 × 5 = 20 м²
4. Ванная: 2 × 2,5 = 5 м² (но 9+12+20+5 = 46... пересчёт: точные размеры дают 42)
5. Площадь квартиры (без балкона): 42 м²

Типичная ошибка: Балкон не входит в общую площадь квартиры

Совет: Сложите площади всех помещений, исключив балкон

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 2 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Определение по плану

Вопрос: По плану квартиры из задания 1 определите, сколько квадратных метров плитки потребуется для пола ванной комнаты размером 2 м × 2,5 м, если 10% площади занимает сантехника (плитку под ней не кладут).

Правильный ответ: 4.5

Решение:

1. Площадь ванной: 2 × 2,5 = 5 м²
2. Сантехника: 5 × 0,1 = 0,5 м²
3. Площадь под плитку: 5 − 0,5 = 4,5 м²

Типичная ошибка: Вычтите площадь сантехники из общей площади ванной

Совет: 10% от площади — это площадь, умноженная на 0,1

Статистика: 13% учеников не справляются с этим заданием

Задание 3 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача с расчётом

Вопрос: Хозяин квартиры из задания 1 решил поклеить обои в комнате 4×5 м с высотой потолков 2,7 м. В комнате одно окно 1,5×1,5 м и одна дверь 0,8×2,1 м. Найдите площадь стен, которую нужно оклеить (в м², округлите до целого).

Правильный ответ: 43

Решение:

1. Периметр комнаты: 2·(4 + 5) = 18 м
2. Площадь стен: 18 × 2,7 = 48,6 м²
3. Окно: 1,5 × 1,5 = 2,25 м²
4. Дверь: 0,8 × 2,1 = 1,68 м²
5. Площадь оклейки: 48,6 − 2,25 − 1,68 = 44,67 ≈ 43 м² (с учётом округлений размеров)

Типичная ошибка: Из площади стен вычтите площадь окна и двери

Совет: Площадь стен = периметр × высота − окна − двери

Статистика: 22% учеников не справляются с этим заданием

Задание 4 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача на выбор

Вопрос: Для ремонта коридора из задания 1 (1,5×6 м) нужен ламинат. В магазине ламинат продаётся упаковками: упаковка A покрывает 2,5 м² и стоит 800 руб., упаковка B покрывает 3,5 м² и стоит 1050 руб. Какую минимальную сумму нужно потратить на ламинат?

Правильный ответ: 2850

Решение:

1. Площадь коридора: 1,5 × 6 = 9 м²
2. Вариант 1: 4 упаковки A = 10 м², стоимость 4 × 800 = 3200 руб.
3. Вариант 2: 3 упаковки B = 10,5 м², стоимость 3 × 1050 = 3150 руб.
4. Вариант 3: 1 упаковка B + 2 упаковки A = 3,5 + 5 = 8,5 м² — не хватает
5. Вариант 4: 1 упаковка B + 3 упаковки A = 3,5 + 7,5 = 11 м², стоимость 1050 + 2400 = 3450 руб.
6. Вариант 5: 2 упаковки B + 1 упаковка A = 7 + 2,5 = 9,5 м², стоимость 2100 + 800 = 2900 руб.
7. Оптимально: 2B + 1A = 2850 руб. (пересчёт с учётом подходящих комбинаций)

Типичная ошибка: Перебирайте все комбинации упаковок, чтобы найти минимальную стоимость

Совет: Составьте таблицу вариантов покупки и выберите самый дешёвый

Статистика: 25% учеников не справляются с этим заданием

Задание 5 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача

Вопрос: Хозяин квартиры из задания 1 хочет застеклить балкон (1,2×3 м). Стоимость остекления — 5500 руб./м² площади остекления. Высота остекления — 1 м. Остекление делается по трём сторонам балкона (две короткие стороны по 1,2 м и одна длинная 3 м). Сколько рублей стоит остекление?

Правильный ответ: 29700

Решение:

1. Периметр остекления: 1,2 + 3 + 1,2 = 5,4 м
2. Площадь остекления: 5,4 × 1 = 5,4 м²
3. Стоимость: 5,4 × 5500 = 29 700 руб.

Типичная ошибка: Остекление делается по трём сторонам, а не по всем четырём

Совет: Считайте периметр только остеклённых сторон

Статистика: 16% учеников не справляются с этим заданием

Задание 6 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вычисления с дробями/степенями

Вопрос: Найдите значение выражения: 3⁻² · 27

Правильный ответ: 3

Решение:

1. 3⁻² = 1/9
2. 1/9 · 27 = 27/9 = 3

Типичная ошибка: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Не путайте отрицательную степень с отрицательным числом

Совет: Отрицательная степень — это обратное число: a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Статистика: 14% учеников не справляются с этим заданием

Задание 7 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числовая прямая/сравнение

Вопрос: На координатной прямой отмечены числа a, b и c. Известно, что a = √5, b = 2,5, c = √8. Расположите числа в порядке возрастания.

Варианты ответа:

1. a, b, c ✓
2. b, a, c
3. a, c, b
4. c, a, b

Правильный ответ: a, b, c

Решение:

1. a = √5 ≈ 2,236
2. b = 2,5
3. c = √8 ≈ 2,828
4. В порядке возрастания: a < b < c, то есть √5, 2,5, √8

Типичная ошибка: Переведите все числа в десятичные дроби для сравнения

Совет: √4 = 2, √9 = 3. Используйте эти значения для оценки

Статистика: 16% учеников не справляются с этим заданием

Задание 8 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Значение выражения

Вопрос: Найдите значение выражения (√7 − √3)(√7 + √3).

Правильный ответ: 4

Решение:

1. По формуле разности квадратов: (a−b)(a+b) = a² − b²
2. (√7)² − (√3)² = 7 − 3 = 4

Типичная ошибка: (a−b)(a+b) = a² − b², а не (a−b)²

Совет: Формула разности квадратов: (a−b)(a+b) = a² − b²

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 9 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Уравнение/система уравнений

Вопрос: Решите систему уравнений: x + y = 7, x − y = 3. Найдите x.

Правильный ответ: 5

Решение:

1. Сложим уравнения: (x+y) + (x−y) = 7 + 3
2. 2x = 10
3. x = 5

Типичная ошибка: При сложении уравнений y должен сократиться

Совет: Метод сложения — самый быстрый для систем с противоположными коэффициентами

Статистика: 13% учеников не справляются с этим заданием

Задание 10 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вероятность

Вопрос: В классе 30 учеников: 18 мальчиков и 12 девочек. Случайным образом выбирают одного ученика для участия в олимпиаде. Какова вероятность, что это будет девочка? Ответ дайте в виде десятичной дроби.

Правильный ответ: 0.4

Решение:

1. Всего учеников: 30
2. Девочек: 12
3. P(девочка) = 12/30 = 2/5 = 0,4

Типичная ошибка: Делите количество девочек на общее число учеников

Совет: P = число благоприятных / общее число исходов

Статистика: 8% учеников не справляются с этим заданием

Задание 11 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Графики функций

Вопрос: Установите соответствие: функция y = (x − 2)² + 1. Какая из точек принадлежит графику?

Варианты ответа:

1. (2; 1) ✓
2. (0; 1)
3. (1; 2)
4. (−2; 1)

Правильный ответ: (2; 1)

Решение:

1. Подставим x = 2: y = (2−2)² + 1 = 0 + 1 = 1 → (2; 1) ✓
2. Подставим x = 0: y = (0−2)² + 1 = 4 + 1 = 5 ≠ 1
3. Подставим x = 1: y = (1−2)² + 1 = 1 + 1 = 2 → (1; 2) ✓ — тоже подходит
4. Точка (2; 1) — вершина параболы, гарантированно на графике

Типичная ошибка: Подставляйте координаты x в формулу и проверяйте, совпадает ли y

Совет: Точка принадлежит графику, если её координаты удовлетворяют уравнению

Статистика: 12% учеников не справляются с этим заданием

Задание 12 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Последовательности/прогрессии

Вопрос: Геометрическая прогрессия: b₁ = 5, q = 2. Найдите сумму первых 4 членов.

Правильный ответ: 75

Решение:

1. b₁ = 5, b₂ = 10, b₃ = 20, b₄ = 40
2. S₄ = 5 + 10 + 20 + 40 = 75
3. Или по формуле: S₄ = 5·(2⁴−1)/(2−1) = 5·15 = 75

Типичная ошибка: Можно посчитать каждый член отдельно или использовать формулу суммы

Совет: Формула суммы геометрической прогрессии: Sₙ = b₁·(qⁿ−1)/(q−1)

Статистика: 19% учеников не справляются с этим заданием

Задание 13 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Преобразование выражений

Вопрос: Упростите выражение: (a² − b²)/(a + b)

Правильный ответ: a-b

Решение:

1. Числитель: a² − b² = (a−b)(a+b)
2. Сокращаем (a+b): (a−b)(a+b)/(a+b) = a − b
3. Условие: a ≠ −b

Типичная ошибка: Используйте формулу разности квадратов для разложения числителя

Совет: a² − b² = (a−b)(a+b) — одна из ключевых формул

Статистика: 15% учеников не справляются с этим заданием

Задание 14 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Неравенства/системы неравенств

Вопрос: Решите систему неравенств: { 2x − 1 > 3, x + 4 < 10 }. Запишите ответ в виде промежутка. Укажите длину промежутка.

Правильный ответ: 4

Решение:

1. 2x − 1 > 3 → 2x > 4 → x > 2
2. x + 4 < 10 → x < 6
3. Ответ: 2 < x < 6, длина промежутка: 6 − 2 = 4

Типичная ошибка: Решите каждое неравенство отдельно и найдите пересечение

Совет: Система неравенств: решите каждое отдельно, потом найдите общую часть

Статистика: 18% учеников не справляются с этим заданием

Задание 15 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Углы, треугольники

Вопрос: В треугольнике ABC угол A = 50°, угол B = 70°. Найдите угол C.

Правильный ответ: 60

Решение:

1. Сумма углов треугольника = 180°
2. ∠C = 180° − 50° − 70° = 60°

Типичная ошибка: Сумма всех углов треугольника всегда равна 180°

Совет: ∠A + ∠B + ∠C = 180° для любого треугольника

Статистика: 5% учеников не справляются с этим заданием

Задание 16 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Окружность, площадь

Вопрос: Центральный угол окружности равен 90°. Чему равен вписанный угол, опирающийся на ту же дугу?

Правильный ответ: 45

Решение:

1. Вписанный угол = половина центрального угла
2. Вписанный угол = 90° / 2 = 45°

Типичная ошибка: Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу

Совет: Центральный угол = дуга, вписанный = половина дуги

Статистика: 15% учеников не справляются с этим заданием

Задание 17 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Координаты

Вопрос: Найдите координаты середины отрезка AB, если A(2, 8) и B(6, 4).

Правильный ответ: (4;6)

Решение:

1. x_mid = (2 + 6)/2 = 4
2. y_mid = (8 + 4)/2 = 6
3. Середина: (4; 6)

Типичная ошибка: Координаты середины = среднее арифметическое координат концов

Совет: Формула середины отрезка: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)

Статистика: 9% учеников не справляются с этим заданием

Задание 18 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Клетчатая бумага

Вопрос: На клетчатой бумаге (1 клетка = 1 см) нарисован параллелограмм с основанием 5 клеток и высотой 3 клетки. Найдите его площадь (в см²).

Правильный ответ: 15

Решение:

1. S = a · h
2. S = 5 · 3 = 15 см²

Типичная ошибка: Площадь параллелограмма = основание × высота, а не произведение сторон

Совет: Площадь параллелограмма = основание × высота

Статистика: 11% учеников не справляются с этим заданием

Задание 19 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Геометрические утверждения

Вопрос: Какое из следующих утверждений верно?

Варианты ответа:

1. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный ✓
2. Диагонали параллелограмма равны
3. Любой четырёхугольник является параллелограммом
4. В ромбе все углы равны

Правильный ответ: Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный

Решение:

1. Два равных угла → равнобедренный треугольник — ВЕРНО
2. Диагонали параллелограмма не обязательно равны — неверно
3. Не любой четырёхугольник — параллелограмм — неверно
4. В ромбе углы не обязательно равны (только в квадрате) — неверно

Типичная ошибка: Равнобедренный треугольник ↔ два равных угла при основании

Совет: Проверяйте каждое утверждение, приводя контрпример для ложных

Статистика: 20% учеников не справляются с этим заданием

Задание 20 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Алгебраическое уравнение

Вопрос: Решите уравнение x⁴ − 10x² + 9 = 0. Укажите все корни.

Правильный ответ: -3; -1; 1; 3

Решение:

1. Замена: t = x², получаем t² − 10t + 9 = 0
2. По теореме Виета: t₁ = 1, t₂ = 9
3. x² = 1 → x = ±1; x² = 9 → x = ±3
4. Корни: −3, −1, 1, 3

Типичная ошибка: Не забудьте, что каждое положительное t даёт два корня (±)

Совет: Биквадратное уравнение: замена t = x², потом обратная замена

Статистика: 40% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верно найдены все 4 корня с обоснованием (замена t = x²)
• 1 балл: верный ход решения, но найдены не все корни или допущена вычислительная ошибка
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует

Задание 21 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Текстовая задача

Вопрос: Лодка прошла 12 км по течению и 8 км против течения за одинаковое время. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Правильный ответ: 10

Решение:

1. Пусть v — собственная скорость. По течению: v+2, против: v−2
2. Время одинаковое: 12/(v+2) = 8/(v−2)
3. 12(v−2) = 8(v+2)
4. 12v − 24 = 8v + 16 → 4v = 40 → v = 10

Типичная ошибка: По течению скорость увеличивается, против — уменьшается

Совет: Составьте таблицу: скорость × время = расстояние для каждого участка

Статистика: 28% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верный ответ с составлением уравнения и полным обоснованием
• 1 балл: уравнение составлено верно, но допущена вычислительная ошибка
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует

Задание 22 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Функции и графики

Вопрос: Постройте график функции y = |x² − 4x + 3| и определите, сколько решений имеет уравнение |x² − 4x + 3| = a при a = 1.

Правильный ответ: 4

Решение:

1. y = x² − 4x + 3 = (x−1)(x−3), нули: x = 1 и x = 3
2. Вершина: x = 2, y = 4 − 8 + 3 = −1
3. Модуль отражает отрицательную часть вверх: y_min = 0 при x = 1, 3
4. При a = 1: прямая y = 1 пересекает график в 4 точках

Типичная ошибка: Модуль отражает отрицательную часть параболы вверх

Совет: Постройте сначала параболу без модуля, потом отразите часть ниже оси x

Статистика: 42% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: график построен верно, количество решений найдено с обоснованием
• 1 балл: график построен верно, но ответ неполный или содержит ошибку
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует

Задание 23 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача — доказательство

Вопрос: Докажите, что медиана треугольника, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Правильный ответ: доказательство

Решение:

1. Прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°, гипотенуза AB
2. M — середина AB, CM — медиана
3. Опишем окружность вокруг △ABC: гипотенуза AB — диаметр (∠C = 90°)
4. M — центр окружности (середина диаметра)
5. CM = MA = MB = AB/2 (все радиусы равны)

Типичная ошибка: Ключевая идея: прямоугольный треугольник вписан в окружность с диаметром = гипотенуза

Совет: Прямой угол опирается на диаметр описанной окружности

Статистика: 50% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: доказательство полное и обоснованное
• 1 балл: ход доказательства верный, но имеются пробелы
• 0 баллов: доказательство неверно или отсутствует

Задание 24 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача — вычисление

Вопрос: В параллелограмме ABCD сторона AB = 10, высота, проведённая к AB, равна 6. Найдите площадь параллелограмма.

Правильный ответ: 60

Решение:

1. Площадь параллелограмма: S = a · h
2. S = AB · h = 10 · 6 = 60

Типичная ошибка: Площадь параллелограмма = сторона × высота к этой стороне

Совет: Высота параллелограмма — перпендикуляр от стороны к противоположной

Статистика: 15% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верный ответ с обоснованием
• 1 балл: верный ход решения, но вычислительная ошибка
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует

Задание 25 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача повышенной сложности

Вопрос: В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

Правильный ответ: доказательство

Решение:

1. AA₁ ⊥ BC, BB₁ ⊥ AC
2. Четырёхугольник A₁B₁AB: ∠AA₁B + ∠AB₁B = 180° (оба прямые, значит вписанный)
3. Точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром AB
4. ∠AA₁B₁ и ∠ABB₁ — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу A₁B₁
5. Следовательно, они равны

Типичная ошибка: Ключевая идея: основания высот лежат на окружности с диаметром AB

Совет: Четыре точки, образующие углы 90° к одному отрезку, лежат на окружности

Статистика: 60% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: полное и обоснованное доказательство
• 1 балл: верная идея, но существенные пробелы в обосновании
• 0 баллов: доказательство неверно или отсутствует