3 вариант ОГЭ по математике 2026 с проверкой и разбором

Задание 1 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числа и вычисления

Вопрос: Найдите значение выражения: 7/8 + 3/8 − 1/4

Правильный ответ: 1

Решение:

1. 7/8 + 3/8 = 10/8 = 5/4
2. 1/4 = 2/8
3. 5/4 − 1/4 = 4/4 = 1

Типичная ошибка: Приводите дроби к общему знаменателю перед сложением и вычитанием

Совет: При работе с обыкновенными дробями сначала приведите к общему знаменателю

Задание 2 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числовая прямая

Вопрос: Какое из чисел отмечено на координатной прямой между точками 1 и 2?

Варианты ответа:

1. √2 ✓
2. √5
3. √1
4. √4

Правильный ответ: √2

Решение:

1. √1 = 1 и √4 = 2
2. Нужно число, квадрат которого между 1 и 4
3. √2 ≈ 1,414 — подходит (между 1 и 2)
4. √5 ≈ 2,236 — не подходит (больше 2)

Типичная ошибка: √4 = 2, а не √2. Сравнивайте подкоренные выражения с точными квадратами

Совет: Чтобы определить положение √n на прямой, найдите два ближайших точных квадрата

Задание 3 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Алгебраические выражения

Вопрос: Упростите выражение (2x + 1)² − 4x² и найдите его значение при x = 3

Правильный ответ: 13

Решение:

1. Раскрываем квадрат: (2x+1)² = 4x² + 4x + 1
2. Вычитаем 4x²: 4x² + 4x + 1 − 4x² = 4x + 1
3. При x = 3: 4·3 + 1 = 13

Типичная ошибка: (2x+1)² = 4x² + 4x + 1, а не 4x² + 1 — не забывайте удвоенное произведение

Совет: (a+b)² = a² + 2ab + b² — всегда три слагаемых

Задание 4 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Уравнения

Вопрос: Решите уравнение x² − 8x + 15 = 0. В ответе укажите меньший корень.

Правильный ответ: 3

Решение:

1. По теореме Виета: сумма корней = 8, произведение = 15
2. Подбор: x₁ = 3, x₂ = 5
3. Проверка: 3 + 5 = 8 ✓, 3·5 = 15 ✓
4. Меньший корень: 3

Типичная ошибка: Два числа с суммой 8 и произведением 15 — это 3 и 5

Совет: Теорема Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a (при a = 1 это −b и c)

Задание 5 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Неравенства

Вопрос: Решите неравенство −4x + 8 > 0. В ответе укажите наибольшее целое решение.

Правильный ответ: 1

Решение:

1. −4x + 8 > 0
2. −4x > −8
3. x < 2 (делим на −4, знак меняется!)
4. Наибольшее целое: 1

Типичная ошибка: При делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется

Совет: Деление или умножение неравенства на отрицательное число меняет знак неравенства

Задание 6 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Последовательности

Вопрос: В арифметической прогрессии a₃ = 11, d = 5. Найдите a₁.

Правильный ответ: 1

Решение:

1. Формула: aₙ = a₁ + (n−1)·d
2. a₃ = a₁ + 2·5 = a₁ + 10
3. 11 = a₁ + 10 → a₁ = 1

Типичная ошибка: Если известен не первый член, выразите a₁ из формулы общего члена

Совет: Из формулы aₙ = a₁ + (n−1)d можно найти любой элемент, зная остальные

Задание 7 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Графики функций

Вопрос: Парабола y = x² − 2x − 3 пересекает ось x. Найдите координату вершины по оси x.

Правильный ответ: 1

Решение:

1. x₀ = −b/(2a) = −(−2)/(2·1) = 2/2 = 1
2. Вершина параболы имеет координату x = 1

Типичная ошибка: Координата вершины: x₀ = −b/(2a). Не путайте знак

Совет: Координата вершины параболы y = ax² + bx + c: x₀ = −b/(2a)

Задание 8 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Системы уравнений

Вопрос: Решите систему: 3x + 2y = 16, x − y = 2. Найдите x + y.

Правильный ответ: 6

Решение:

1. Из второго: x = y + 2
2. Подставим: 3(y+2) + 2y = 16
3. 3y + 6 + 2y = 16 → 5y = 10 → y = 2
4. x = 2 + 2 = 4
5. x + y = 4 + 2 = 6

Типичная ошибка: Выразите одну переменную из более простого уравнения и подставьте

Совет: Метод подстановки: выразить x через y (или наоборот) и подставить

Задание 9 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Статистика

Вопрос: Набор данных: 10, 15, 20, 25, 30. Найдите среднее арифметическое.

Правильный ответ: 20

Решение:

1. Сумма: 10 + 15 + 20 + 25 + 30 = 100
2. Количество чисел: 5
3. Среднее арифметическое: 100/5 = 20

Типичная ошибка: Среднее арифметическое = сумма всех значений / количество значений

Совет: Среднее арифметическое — сумма всех элементов, делённая на их количество

Задание 10 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вероятность

Вопрос: На столе лежат карточки с числами от 1 до 10. Какова вероятность вытащить чётное число? Ответ дайте в виде десятичной дроби.

Правильный ответ: 0.5

Решение:

1. Чётные числа от 1 до 10: 2, 4, 6, 8, 10 — всего 5
2. Общее количество карточек: 10
3. P = 5/10 = 0,5

Типичная ошибка: Перечислите все чётные числа в диапазоне и разделите на общее количество

Совет: Классическая вероятность: число благоприятных исходов / общее число исходов

Задание 11 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Преобразования выражений

Вопрос: Разложите на множители: x³ − x

Варианты ответа:

1. x(x−1)(x+1) ✓
2. x(x²−1)
3. (x−1)(x²+x)
4. x²(x−1)

Правильный ответ: x(x−1)(x+1)

Решение:

1. Вынесем x: x³ − x = x(x² − 1)
2. x² − 1 = (x−1)(x+1) — разность квадратов
3. Итого: x(x−1)(x+1)

Типичная ошибка: Сначала вынесите общий множитель, потом примените формулу разности квадратов

Совет: Разложение на множители: сначала общий множитель, потом формулы

Задание 12 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Текстовая задача

Вопрос: Из пункта A в пункт B выехал автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через 1 час навстречу из B выехал мотоцикл со скоростью 40 км/ч. Расстояние AB = 200 км. Через сколько часов после выезда мотоцикла они встретятся?

Правильный ответ: 1.4

Решение:

1. За 1 час автомобиль проехал: 60 · 1 = 60 км
2. Оставшееся расстояние: 200 − 60 = 140 км
3. Скорость сближения: 60 + 40 = 100 км/ч
4. Время до встречи: 140/100 = 1,4 часа

Типичная ошибка: Учтите, что первый автомобиль уже проехал часть пути до выезда второго

Совет: При движении навстречу скорости складываются

Задание 13 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Функции и графики

Вопрос: Прямая y = kx + 2 проходит через точку (4, 10). Найдите k.

Правильный ответ: 2

Решение:

1. Подставим точку (4, 10): 10 = 4k + 2
2. 4k = 8
3. k = 2

Типичная ошибка: Подставьте координаты точки в уравнение и решите относительно k

Совет: Чтобы найти k, подставьте известную точку в уравнение прямой

Задание 14 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Числовые последовательности

Вопрос: В геометрической прогрессии b₁ = 81, q = 1/3. Найдите b₄.

Правильный ответ: 3

Решение:

1. bₙ = b₁ · q^(n−1)
2. b₄ = 81 · (1/3)³
3. (1/3)³ = 1/27
4. b₄ = 81/27 = 3

Типичная ошибка: Будьте внимательны со степенями дробей: (1/3)³ = 1/27

Совет: При q < 1 геометрическая прогрессия убывает

Задание 15 (2 балла, уровень: базовый)

Тема: Треугольники

Вопрос: В прямоугольном треугольнике гипотенуза 10, один катет 6. Найдите другой катет.

Правильный ответ: 8

Решение:

1. По теореме Пифагора: a² + b² = c²
2. a² = c² − b² = 100 − 36 = 64
3. a = 8

Типичная ошибка: Для нахождения катета вычитайте квадрат известного катета из квадрата гипотенузы

Совет: Если нужно найти катет: a = √(c² − b²)

Задание 16 (2 балла, уровень: базовый)

Тема: Площади

Вопрос: Найдите площадь трапеции с основаниями 8 и 14 и высотой 5.

Правильный ответ: 55

Решение:

1. S = (a + b)/2 · h
2. S = (8 + 14)/2 · 5
3. S = 11 · 5 = 55

Типичная ошибка: Полусумма оснований: (8+14)/2 = 11, а не 22

Совет: Площадь трапеции = полусумма оснований × высота

Задание 17 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Окружность

Вопрос: Вписанный угол опирается на диаметр окружности. Чему равен этот угол?

Правильный ответ: 90

Решение:

1. Диаметр стягивает полуокружность — дугу 180°
2. Вписанный угол = половина дуги = 180°/2 = 90°
3. Это свойство: вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой

Типичная ошибка: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90° — это теорема Фалеса

Совет: Теорема Фалеса: вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой

Задание 18 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Четырёхугольники

Вопрос: Стороны ромба равны 10, а один из углов 30°. Найдите площадь ромба.

Правильный ответ: 50

Решение:

1. S = a² · sin(α)
2. S = 100 · sin(30°)
3. sin(30°) = 1/2
4. S = 100 · 0,5 = 50

Типичная ошибка: Площадь ромба можно вычислить через сторону и синус угла

Совет: S ромба = a² · sin(α), где α — любой из углов ромба

Задание 19 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Подобие треугольников

Вопрос: В подобных треугольниках соответствующие стороны равны 6 и 9. Найдите коэффициент подобия (от меньшего к большему).

Правильный ответ: 1.5

Решение:

1. Коэффициент подобия k = большая сторона / меньшая сторона
2. k = 9/6 = 3/2 = 1,5

Типичная ошибка: Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон

Совет: k = сторона большего / соответствующая сторона меньшего

Задание 20 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Уравнения и системы

Вопрос: Решите уравнение: x² − 9 = 0. В ответе укажите положительный корень.

Правильный ответ: 3

Решение:

1. x² = 9
2. x = ±3
3. Положительный корень: 3

Типичная ошибка: Уравнение x² = a имеет два корня: x = √a и x = −√a

Совет: При извлечении квадратного корня не забывайте про отрицательный корень

Задание 21 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Алгебраические дроби

Вопрос: Упростите: (x² + 2x + 1)/(x + 1)

Варианты ответа:

1. x + 1 ✓
2. x − 1
3. x + 2
4. x

Правильный ответ: x + 1

Решение:

1. Числитель: x² + 2x + 1 = (x+1)²
2. Сокращаем: (x+1)²/(x+1) = x + 1
3. Условие: x ≠ −1

Типичная ошибка: x² + 2x + 1 — это полный квадрат (x+1)²

Совет: Распознавайте полные квадраты: a² + 2ab + b² = (a+b)²

Задание 22 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Практическая задача

Вопрос: Бассейн наполняется первой трубой за 6 часов, второй — за 3 часа. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы?

Правильный ответ: 2

Решение:

1. Производительность первой трубы: 1/6 бассейна/час
2. Производительность второй трубы: 1/3 бассейна/час
3. Совместная: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 бассейна/час
4. Время: 1/(1/2) = 2 часа

Типичная ошибка: Производительности при совместной работе складываются

Совет: Задачи на совместную работу: складывайте производительности (доли работы в час)

Задание 23 (1 балл, уровень: высокий)

Тема: Уравнения высокой сложности

Вопрос: Решите уравнение |2x − 5| = 3. Найдите сумму корней.

Правильный ответ: 5

Решение:

1. Раскрываем модуль: два случая
2. Случай 1: 2x − 5 = 3 → 2x = 8 → x = 4
3. Случай 2: 2x − 5 = −3 → 2x = 2 → x = 1
4. Сумма корней: 4 + 1 = 5

Типичная ошибка: Модуль раскрывается в два уравнения: с плюсом и с минусом

Совет: |f(x)| = a при a > 0 даёт два уравнения: f(x) = a и f(x) = −a

Задание 24 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрия — доказательство

Вопрос: В равнобедренном треугольнике основание равно 12, а боковая сторона 10. Найдите высоту, проведённую к основанию.

Правильный ответ: 8

Решение:

1. Высота к основанию в равнобедренном треугольнике является медианой
2. Она делит основание пополам: 12/2 = 6
3. По теореме Пифагора: h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64
4. h = 8

Типичная ошибка: В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам

Совет: В равнобедренном треугольнике высота к основанию = медиана = биссектриса

Задание 25 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрия — вычисление

Вопрос: В окружности радиуса 10 проведена хорда на расстоянии 6 от центра. Найдите длину хорды.

Правильный ответ: 16

Решение:

1. Перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам
2. Половина хорды: a² = R² − d² = 100 − 36 = 64, a = 8
3. Длина хорды: 2 · 8 = 16

Типичная ошибка: Не забудьте удвоить половину хорды для получения полной длины

Совет: R, половина хорды и расстояние от центра — стороны прямоугольного треугольника