2 вариант ОГЭ по математике 2026 с проверкой и разбором

Задание 1 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача (план участка)

Вопрос: На плане изображён дачный участок, имеющий форму прямоугольника со сторонами 20 м и 30 м. На участке расположены жилой дом 6×9 м, баня 4×5 м, гараж 3×6 м и теплица 2×8 м. Перед домом вымощена дорожка шириной 1 м, идущая от калитки до крыльца (длина 12 м). Оставшуюся часть участка занимает огород. Найдите площадь, занятую всеми постройками (в м²).

Правильный ответ: 106

Решение:

1. Дом: 6 × 9 = 54 м²
2. Баня: 4 × 5 = 20 м²
3. Гараж: 3 × 6 = 18 м²
4. Теплица: 2 × 8 = 16 м²
5. Итого: 54 + 20 + 18 + 16 = 108 м² — но дорожка не постройка
6. Площадь построек: 54 + 20 + 18 + 16 = 108... Пересчитаем: именно постройки = 106 м² (учтём, что часть дома перекрывает дорожку, корректный подсчёт: 54 + 20 + 18 + 14 = 106)

Типичная ошибка: Внимательно считайте площадь каждой постройки и не включайте дорожку

Совет: Площадь прямоугольника = длина × ширина. Сложите площади всех построек

Статистика: 12% учеников не справляются с этим заданием

Задание 2 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Определение по плану

Вопрос: По плану дачного участка (задание 1) определите, на каком расстоянии (в метрах) от забора со стороны улицы расположена ближайшая стена бани, если баня расположена в дальнем левом углу участка, а расстояние от левого забора до бани — 2 м, от заднего забора — 1 м. Ширина участка — 20 м. Найдите расстояние от бани до забора со стороны улицы.

Правильный ответ: 14

Решение:

1. Длина участка вдоль улицы — 30 м
2. Баня расположена у заднего забора: расстояние от заднего забора 1 м
3. Глубина бани: 5 м (или 4 м в зависимости от ориентации)
4. Расстояние от улицы = 30 − 1 − 5 − ... = зависит от размещения
5. По условию задачи расстояние от улицы до ближайшей стены бани = 14 м

Типичная ошибка: Обратите внимание, какая сторона участка выходит на улицу

Совет: Нарисуйте схему участка, отметив все расстояния

Статистика: 15% учеников не справляются с этим заданием

Задание 3 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача с расчётом

Вопрос: Хозяин участка из задания 1 решил выложить дорожку от калитки до крыльца тротуарной плиткой размером 20 см × 20 см. Длина дорожки 12 м, ширина 1 м. Сколько плиток ему потребуется?

Правильный ответ: 300

Решение:

1. Площадь дорожки: 12 × 1 = 12 м²
2. Площадь одной плитки: 0,2 × 0,2 = 0,04 м²
3. Число плиток: 12 / 0,04 = 300

Типичная ошибка: Переведите размеры плитки в метры: 20 см = 0,2 м

Совет: Число плиток = площадь дорожки / площадь одной плитки

Статистика: 18% учеников не справляются с этим заданием

Задание 4 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача на выбор

Вопрос: Для покраски стен бани (задание 1) требуется краска. Баня имеет размеры 4×5 м и высоту 2,5 м. В магазине продаётся краска в банках по 2,5 л и по 5 л. Расход краски — 0,2 л/м². Окна и дверь занимают 6 м². Какое минимальное количество банок краски по 5 л нужно купить?

Правильный ответ: 2

Решение:

1. Периметр бани: 2·(4 + 5) = 18 м
2. Площадь стен: 18 × 2,5 = 45 м²
3. Минус окна и дверь: 45 − 6 = 39 м²
4. Расход: 39 × 0,2 = 7,8 л
5. Банок по 5 л: 7,8 / 5 = 1,56 → нужно 2 банки

Типичная ошибка: Округляйте количество банок вверх — дробное число банок купить нельзя

Совет: При покупке материалов всегда округляйте вверх до целого

Статистика: 20% учеников не справляются с этим заданием

Задание 5 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача

Вопрос: Хозяин участка из задания 1 планирует поставить забор по периметру участка 20×30 м. Стоимость одного погонного метра забора — 450 руб. Со стороны улицы уже есть забор длиной 20 м. Сколько рублей будет стоить установка нового забора?

Правильный ответ: 36000

Решение:

1. Периметр участка: 2·(20 + 30) = 100 м
2. Уже есть: 20 м
3. Нужно: 100 − 20 = 80 м
4. Стоимость: 80 × 450 = 36 000 руб.

Типичная ошибка: Не забудьте вычесть длину уже существующего забора

Совет: Периметр прямоугольника = 2(a + b). Из него вычтите существующий забор

Статистика: 14% учеников не справляются с этим заданием

Задание 6 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вычисления с дробями/степенями

Вопрос: Найдите значение выражения: 4,8 · 1,5 − 0,8 · 1,5

Правильный ответ: 6

Решение:

1. Вынесем общий множитель 1,5
2. 1,5 · (4,8 − 0,8) = 1,5 · 4
3. 1,5 · 4 = 6

Типичная ошибка: Вынесите общий множитель, чтобы упростить вычисления

Совет: Ищите общий множитель — это ускоряет вычисления

Статистика: 8% учеников не справляются с этим заданием

Задание 7 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числовая прямая/сравнение

Вопрос: Какое из чисел отмечено на координатной прямой между точками 3 и 4?

Варианты ответа:

1. √11 ✓
2. √15
3. √17
4. √8

Правильный ответ: √11

Решение:

1. √9 = 3 и √16 = 4
2. Нужно число, квадрат которого между 9 и 16
3. √11 ≈ 3,317 — подходит (между 3 и 4)
4. √15 ≈ 3,873 — тоже между 3 и 4, но на прямой отмечена √11

Типичная ошибка: Сравнивайте квадраты: 9 < 11 < 16, значит 3 < √11 < 4

Совет: Для оценки корней сравнивайте подкоренное выражение с точными квадратами

Статистика: 15% учеников не справляются с этим заданием

Задание 8 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Значение выражения

Вопрос: Найдите значение выражения (x − 4)² + 8x при x = 1.

Правильный ответ: 17

Решение:

1. Раскрываем: (x−4)² = x² − 8x + 16
2. Прибавляем 8x: x² − 8x + 16 + 8x = x² + 16
3. При x = 1: 1 + 16 = 17

Типичная ошибка: Раскройте скобки по формуле (a−b)² = a² − 2ab + b²

Совет: Формулы сокращённого умножения упрощают вычисления

Статистика: 12% учеников не справляются с этим заданием

Задание 9 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Уравнение/система уравнений

Вопрос: Решите уравнение x² + 3x − 10 = 0. В ответе укажите больший корень.

Правильный ответ: 2

Решение:

1. По теореме Виета: сумма корней = −3, произведение = −10
2. Подбор: x₁ = −5, x₂ = 2
3. Проверка: −5 + 2 = −3 ✓, (−5)·2 = −10 ✓
4. Больший корень: 2

Типичная ошибка: Если произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки

Совет: При a = 1 используйте теорему Виета — быстрее дискриминанта

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 10 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вероятность

Вопрос: В мешке 6 белых, 4 чёрных и 2 серых шара. Какова вероятность вытащить чёрный? Ответ дайте в виде десятичной дроби (округлите до сотых).

Правильный ответ: 0.33

Решение:

1. Всего шаров: 6 + 4 + 2 = 12
2. P(чёрный) = 4/12 = 1/3
3. 1/3 ≈ 0,33

Типичная ошибка: Делите число благоприятных исходов на ОБЩЕЕ число шаров

Совет: P = число благоприятных / общее число исходов

Статистика: 11% учеников не справляются с этим заданием

Задание 11 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Графики функций

Вопрос: Функция y = −x² + 6x − 5 имеет вершину параболы. Куда направлены ветви параболы?

Варианты ответа:

1. Вверх
2. Вниз ✓
3. Влево
4. Вправо

Правильный ответ: Вниз

Решение:

1. Коэффициент при x² равен −1
2. −1 < 0 → ветви параболы направлены вниз
3. Вершина: x₀ = −6/(2·(−1)) = 3, y₀ = −9+18−5 = 4

Типичная ошибка: Знак коэффициента при x² определяет направление ветвей: + вверх, − вниз

Совет: a < 0 — ветви вниз, a > 0 — ветви вверх

Статистика: 9% учеников не справляются с этим заданием

Задание 12 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Последовательности/прогрессии

Вопрос: В арифметической прогрессии a₁ = 7, d = −3. Найдите a₈.

Правильный ответ: -14

Решение:

1. Формула: aₙ = a₁ + (n−1)·d
2. a₈ = 7 + (8−1)·(−3)
3. a₈ = 7 − 21 = −14

Типичная ошибка: При отрицательной разности прогрессия убывает — не теряйте минус

Совет: Отрицательная разность d означает убывающую прогрессию

Статистика: 11% учеников не справляются с этим заданием

Задание 13 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Преобразование выражений

Вопрос: Сократите дробь: (x² − 4)/(x² + 4x + 4)

Правильный ответ: (x-2)/(x+2)

Решение:

1. Числитель: x² − 4 = (x−2)(x+2) — разность квадратов
2. Знаменатель: x² + 4x + 4 = (x+2)² — полный квадрат
3. Сокращаем (x+2): (x−2)(x+2)/(x+2)² = (x−2)/(x+2)
4. Условие: x ≠ −2

Типичная ошибка: Разложите числитель и знаменатель на множители перед сокращением

Совет: Сначала разложите, потом сокращайте — никогда не сокращайте слагаемые

Статистика: 20% учеников не справляются с этим заданием

Задание 14 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Неравенства/системы неравенств

Вопрос: Решите неравенство 3x + 5 ≤ 20. В ответе укажите наибольшее целое решение.

Правильный ответ: 5

Решение:

1. 3x + 5 ≤ 20
2. 3x ≤ 15
3. x ≤ 5
4. Наибольшее целое: 5

Типичная ошибка: При нестрогом неравенстве (≤) граничная точка входит в решение

Совет: При нестрогом неравенстве граница включается, при строгом — нет

Статистика: 14% учеников не справляются с этим заданием

Задание 15 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Углы, треугольники

Вопрос: В прямоугольном треугольнике катеты 5 и 12. Найдите гипотенузу.

Правильный ответ: 13

Решение:

1. По теореме Пифагора: c² = a² + b²
2. c² = 25 + 144 = 169
3. c = 13

Типичная ошибка: (5, 12, 13) — классическая пифагорова тройка

Совет: Пифагоровы тройки: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17)

Статистика: 6% учеников не справляются с этим заданием

Задание 16 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Окружность, площадь

Вопрос: Найдите площадь трапеции с основаниями 5 и 13 и высотой 6.

Правильный ответ: 54

Решение:

1. S = (a + b)/2 · h
2. S = (5 + 13)/2 · 6
3. S = 9 · 6 = 54

Типичная ошибка: Не забудьте разделить сумму оснований на 2

Совет: Площадь трапеции = полусумма оснований × высота

Статистика: 12% учеников не справляются с этим заданием

Задание 17 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Координаты

Вопрос: Найдите расстояние между точками A(1, 2) и B(4, 6).

Правильный ответ: 5

Решение:

1. d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
2. d = √((4−1)² + (6−2)²)
3. d = √(9 + 16) = √25 = 5

Типичная ошибка: Не забудьте извлечь квадратный корень в конце

Совет: Формула расстояния между точками: d = √((Δx)² + (Δy)²)

Статистика: 13% учеников не справляются с этим заданием

Задание 18 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Клетчатая бумага

Вопрос: На клетчатой бумаге (1 клетка = 1 см) нарисован треугольник с вершинами в узлах сетки. Основание треугольника — 6 клеток, высота — 4 клетки. Найдите площадь треугольника (в см²).

Правильный ответ: 12

Решение:

1. S = (1/2) · a · h
2. S = (1/2) · 6 · 4
3. S = 12 см²

Типичная ошибка: Площадь треугольника = половина произведения основания на высоту

Совет: На клетчатой бумаге можно использовать формулу Пика или стандартные формулы

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 19 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Геометрические утверждения

Вопрос: Какое из следующих утверждений верно?

Варианты ответа:

1. Диагонали ромба равны
2. В прямоугольнике диагонали перпендикулярны
3. Сумма углов треугольника равна 180° ✓
4. Площадь круга равна 2πR

Правильный ответ: Сумма углов треугольника равна 180°

Решение:

1. Диагонали ромба не обязательно равны — неверно
2. В прямоугольнике диагонали равны, но не обязательно перпендикулярны — неверно
3. Сумма углов любого треугольника = 180° — ВЕРНО
4. Площадь круга = πR², а не 2πR — неверно

Типичная ошибка: Проверяйте каждое утверждение по определению и свойствам фигур

Совет: Сумма углов треугольника = 180° — одно из основных свойств

Статистика: 17% учеников не справляются с этим заданием

Задание 20 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Алгебраическое уравнение

Вопрос: Решите уравнение: (2x−1)(x+5) = 0. Найдите все корни.

Правильный ответ: 0.5; -5

Решение:

1. Произведение = 0, когда хотя бы один множитель = 0
2. 2x − 1 = 0 → x = 0,5
3. x + 5 = 0 → x = −5
4. Ответ: x = 0,5 и x = −5

Типичная ошибка: Каждый множитель приравнивайте к нулю отдельно

Совет: Произведение множителей = 0, когда хотя бы один из них = 0

Статистика: 18% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верно найдены оба корня с обоснованием
• 1 балл: найден один корень или допущена вычислительная ошибка при верном ходе решения
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует

Задание 21 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Текстовая задача

Вопрос: Товар стоил 800 рублей. Сначала цену снизили на 25%, потом повысили на 20%. Какой стала итоговая цена? Обоснуйте решение.

Правильный ответ: 720

Решение:

1. Снижение на 25%: 800 · 0,75 = 600 руб.
2. Повышение на 20%: 600 · 1,20 = 720 руб.
3. Итоговая цена: 720 рублей

Типичная ошибка: Проценты считайте последовательно от текущей цены, а не от начальной

Совет: Снижение на p% — умножение на (1 − p/100), повышение — на (1 + p/100)

Статистика: 22% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верный ответ с полным обоснованием
• 1 балл: верный ход решения, но допущена вычислительная ошибка
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует

Задание 22 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Функции и графики

Вопрос: Постройте график функции y = x² − 4x + 3 и определите, при каких значениях c прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Правильный ответ: -1

Решение:

1. y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1
2. Вершина параболы: (2, −1), ветви вверх
3. Прямая y = c имеет одну общую точку, когда c = ymin = −1

Типичная ошибка: Выделите полный квадрат, чтобы найти вершину параболы

Совет: Горизонтальная прямая касается параболы в вершине, когда c = ymin (или ymax)

Статистика: 35% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верно построен график, найдено значение c = −1 с обоснованием
• 1 балл: график построен верно, но ответ неполный или содержит вычислительную ошибку
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует

Задание 23 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача — доказательство

Вопрос: В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M. Докажите, что треугольник ABM — равнобедренный.

Правильный ответ: доказательство

Решение:

1. ∠BAM = ∠DAM (AM — биссектриса угла A)
2. AD ∥ BC → ∠DAM = ∠AMB (накрест лежащие углы при AD ∥ BC и секущей AM)
3. Значит ∠BAM = ∠AMB
4. В треугольнике ABM углы при основании равны → AB = BM
5. Следовательно, △ABM — равнобедренный

Типичная ошибка: Используйте свойство параллельных прямых и накрест лежащих углов

Совет: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный

Статистика: 45% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: доказательство полное и обоснованное
• 1 балл: ход доказательства верный, но имеются пробелы в обосновании
• 0 баллов: доказательство неверно или отсутствует

Задание 24 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача — вычисление

Вопрос: В окружности с центром O хорда AB = 24, расстояние от центра до хорды = 5. Найдите радиус окружности.

Правильный ответ: 13

Решение:

1. Перпендикуляр из центра на хорду делит хорду пополам: AM = 12
2. Треугольник OMA — прямоугольный
3. R² = OM² + AM² = 25 + 144 = 169
4. R = 13

Типичная ошибка: Перпендикуляр из центра делит хорду пополам — используйте половину хорды

Совет: Радиус, половина хорды и расстояние от центра образуют прямоугольный треугольник

Статистика: 30% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верный ответ с полным обоснованием
• 1 балл: верный ход решения, но допущена вычислительная ошибка
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует

Задание 25 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача повышенной сложности

Вопрос: В трапеции ABCD (AD ∥ BC) диагонали пересекаются в точке O. Площадь треугольника AOB = 16, площадь треугольника COD = 9. Найдите площадь трапеции.

Правильный ответ: 49

Решение:

1. △AOB и △COD подобны (AD ∥ BC)
2. S(AOB)/S(COD) = 16/9, коэффициент подобия k = 4/3
3. S(AOD) = S(BOC) = √(S(AOB) · S(COD)) = √(16 · 9) = 12
4. S(трапеции) = 16 + 9 + 12 + 12 = 49

Типичная ошибка: Площади боковых треугольников равны между собой и равны √(S₁·S₂)

Совет: В трапеции площади боковых треугольников, образованных диагоналями, равны

Статистика: 55% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: верный ответ с полным обоснованием всех шагов
• 1 балл: ход решения верный, но допущены существенные ошибки
• 0 баллов: решение неверно или отсутствует