2 вариант ОГЭ по математике 2026 с проверкой и разбором

Задание 1 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числа и вычисления

Вопрос: Найдите значение выражения: 4,8 · 1,5 − 0,8 · 1,5

Правильный ответ: 6

Решение:

1. Вынесем общий множитель 1,5 за скобку
2. 1,5 · (4,8 − 0,8) = 1,5 · 4
3. 1,5 · 4 = 6

Типичная ошибка: Вынесите общий множитель, чтобы упростить вычисления и избежать ошибок в десятичных дробях

Совет: Вынесение общего множителя упрощает вычисления

Задание 2 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числовая прямая

Вопрос: Какое из чисел отмечено на координатной прямой между точками 3 и 4?

Варианты ответа:

1. √11 ✓
2. √15
3. √17
4. √8

Правильный ответ: √11

Решение:

1. √9 = 3 и √16 = 4
2. Нужно число, квадрат которого между 9 и 16
3. √11 ≈ 3,317 — подходит (между 3 и 4)
4. √15 ≈ 3,873 — тоже между 3 и 4, но √11 ближе к отметке на прямой

Типичная ошибка: Сравнивайте квадраты чисел: 9 < 11 < 16, значит 3 < √11 < 4

Совет: Для оценки корней сравнивайте подкоренное выражение с точными квадратами

Задание 3 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Алгебраические выражения

Вопрос: Упростите выражение (x − 4)² + 8x и найдите его значение при x = 1

Правильный ответ: 17

Решение:

1. Раскрываем квадрат: (x−4)² = x² − 8x + 16
2. Прибавляем 8x: x² − 8x + 16 + 8x = x² + 16
3. При x = 1: 1 + 16 = 17

Типичная ошибка: Внимательно раскрывайте квадрат разности: (a−b)² = a² − 2ab + b²

Совет: Формулы сокращённого умножения: (a−b)² = a² − 2ab + b²

Задание 4 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Уравнения

Вопрос: Решите уравнение x² + 3x − 10 = 0. В ответе укажите больший корень.

Правильный ответ: 2

Решение:

1. По теореме Виета: сумма корней = −3, произведение = −10
2. Подбор: x₁ = −5, x₂ = 2
3. Проверка: −5 + 2 = −3 ✓, (−5)·2 = −10 ✓
4. Больший корень: 2

Типичная ошибка: Знаки корней определяются знаком свободного члена и суммы — используйте теорему Виета

Совет: Если произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки

Задание 5 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Неравенства

Вопрос: Решите неравенство 3x + 5 ≤ 20. В ответе укажите наибольшее целое решение.

Правильный ответ: 5

Решение:

1. 3x + 5 ≤ 20
2. 3x ≤ 15
3. x ≤ 5
4. Наибольшее целое: 5

Типичная ошибка: При нестрогом неравенстве (≤) граничная точка входит в решение

Совет: При нестрогом неравенстве граница включается, при строгом — нет

Задание 6 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Последовательности

Вопрос: В арифметической прогрессии a₁ = 7, d = −3. Найдите a₈.

Правильный ответ: -14

Решение:

1. Формула: aₙ = a₁ + (n−1)·d
2. a₈ = 7 + (8−1)·(−3)
3. a₈ = 7 + 7·(−3) = 7 − 21 = −14

Типичная ошибка: При отрицательной разности прогрессия убывает — не теряйте минус

Совет: Отрицательная разность d означает убывающую прогрессию

Задание 7 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Графики функций

Вопрос: Функция y = −x² + 6x − 5 имеет вершину параболы. Куда направлены ветви параболы?

Варианты ответа:

1. Вверх
2. Вниз ✓
3. Влево
4. Вправо

Правильный ответ: Вниз

Решение:

1. Коэффициент при x² равен −1
2. −1 < 0 → ветви параболы направлены вниз
3. Вершина: x₀ = −6/(2·(−1)) = 3, y₀ = −9+18−5 = 4

Типичная ошибка: Знак коэффициента при x² определяет направление ветвей: + вверх, − вниз

Совет: a < 0 — ветви вниз (грусть), a > 0 — ветви вверх (улыбка)

Задание 8 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Системы уравнений

Вопрос: Решите систему: 2x + y = 11, x − y = 1. Найдите y.

Правильный ответ: 3

Решение:

1. Из второго уравнения: x = y + 1
2. Подставим в первое: 2(y+1) + y = 11
3. 2y + 2 + y = 11 → 3y = 9 → y = 3

Типичная ошибка: Метод подстановки: выразите одну переменную и подставьте во второе уравнение

Совет: Если легко выразить переменную — используйте подстановку

Задание 9 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Статистика

Вопрос: Набор данных: 4, 7, 2, 7, 5, 7, 1. Найдите моду.

Правильный ответ: 7

Решение:

1. Подсчитаем частоту каждого числа:
2. 1 — 1 раз, 2 — 1 раз, 4 — 1 раз, 5 — 1 раз, 7 — 3 раза
3. Мода — число, встречающееся чаще всего: 7

Типичная ошибка: Мода — самое частое значение, не среднее и не медиана

Совет: Мода — значение с наибольшей частотой в выборке

Задание 10 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вероятность

Вопрос: В мешке 6 белых, 4 чёрных и 2 серых шара. Какова вероятность вытащить чёрный? Ответ дайте в виде десятичной дроби (округлите до сотых).

Правильный ответ: 0.33

Решение:

1. Всего шаров: 6 + 4 + 2 = 12
2. P(чёрный) = 4/12 = 1/3
3. 1/3 ≈ 0,33

Типичная ошибка: Делите число благоприятных исходов на ОБЩЕЕ число всех шаров

Совет: P = число благоприятных исходов / общее число исходов

Задание 11 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Преобразования выражений

Вопрос: Сократите дробь: (x² − 4)/(x² + 4x + 4)

Варианты ответа:

1. (x−2)/(x+2) ✓
2. (x+2)/(x−2)
3. x−2
4. 1

Правильный ответ: (x−2)/(x+2)

Решение:

1. Числитель: x² − 4 = (x−2)(x+2) — разность квадратов
2. Знаменатель: x² + 4x + 4 = (x+2)² — полный квадрат
3. Сокращаем (x+2): (x−2)(x+2)/(x+2)² = (x−2)/(x+2)
4. Условие: x ≠ −2

Типичная ошибка: Разложите числитель и знаменатель на множители перед сокращением

Совет: Сначала разложите, потом сокращайте — никогда не сокращайте слагаемые

Задание 12 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Текстовая задача

Вопрос: Поезд проехал 240 км со скоростью 80 км/ч и ещё 180 км со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда на всём пути (в км/ч).

Правильный ответ: 70

Решение:

1. Время на первый участок: 240/80 = 3 ч
2. Время на второй участок: 180/60 = 3 ч
3. Общий путь: 240 + 180 = 420 км
4. Общее время: 3 + 3 = 6 ч
5. Средняя скорость: 420/6 = 70 км/ч

Типичная ошибка: Средняя скорость ≠ среднее арифметическое скоростей! Считайте через общий путь / общее время

Совет: Средняя скорость = весь путь / всё время

Задание 13 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Функции и графики

Вопрос: График какой функции проходит через точки (−1, 1) и (2, 7)?

Варианты ответа:

1. y = 2x + 3 ✓
2. y = 3x + 4
3. y = x + 2
4. y = 2x − 1

Правильный ответ: y = 2x + 3

Решение:

1. Пусть y = kx + b
2. Подставим (−1, 1): 1 = −k + b
3. Подставим (2, 7): 7 = 2k + b
4. Вычтем: 6 = 3k → k = 2, b = 3
5. y = 2x + 3

Типичная ошибка: Составьте систему из двух уравнений, подставив обе точки

Совет: Две точки однозначно определяют прямую y = kx + b

Задание 14 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Числовые последовательности

Вопрос: Геометрическая прогрессия: b₁ = 5, q = 2. Найдите сумму первых 4 членов.

Правильный ответ: 75

Решение:

1. b₁ = 5, b₂ = 10, b₃ = 20, b₄ = 40
2. S₄ = 5 + 10 + 20 + 40 = 75
3. Или по формуле: S₄ = 5·(2⁴−1)/(2−1) = 5·15 = 75

Типичная ошибка: Можно посчитать каждый член отдельно или использовать формулу суммы

Совет: Формула суммы геометрической прогрессии: Sₙ = b₁·(qⁿ−1)/(q−1)

Задание 15 (2 балла, уровень: базовый)

Тема: Треугольники

Вопрос: В прямоугольном треугольнике катеты 5 и 12. Найдите гипотенузу.

Правильный ответ: 13

Решение:

1. По теореме Пифагора: c² = a² + b²
2. c² = 25 + 144 = 169
3. c = 13

Типичная ошибка: (5, 12, 13) — классическая пифагорова тройка

Совет: Запомните пифагоровы тройки: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17)

Задание 16 (2 балла, уровень: базовый)

Тема: Площади

Вопрос: Найдите площадь трапеции с основаниями 5 и 13 и высотой 6.

Правильный ответ: 54

Решение:

1. S = (a + b)/2 · h
2. S = (5 + 13)/2 · 6
3. S = 9 · 6 = 54

Типичная ошибка: Не забудьте разделить сумму оснований на 2 перед умножением на высоту

Совет: Площадь трапеции = полусумма оснований × высота

Задание 17 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Окружность

Вопрос: Центральный угол окружности равен 90°. Чему равен вписанный угол, опирающийся на ту же дугу?

Правильный ответ: 45

Решение:

1. Вписанный угол = половина центрального угла, опирающегося на ту же дугу
2. Вписанный угол = 90° / 2 = 45°

Типичная ошибка: Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу

Совет: Центральный угол равен дуге, вписанный — половине дуги

Задание 18 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Четырёхугольники

Вопрос: Диагонали ромба 10 и 24. Найдите сторону ромба.

Правильный ответ: 13

Решение:

1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам
2. Половины диагоналей: 5 и 12
3. Сторона ромба — гипотенуза: a² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
4. a = 13

Типичная ошибка: Диагонали ромба делятся пополам — используйте половины, не целые диагонали

Совет: Сторона ромба находится через теорему Пифагора из половин диагоналей

Задание 19 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Подобие треугольников

Вопрос: Два подобных треугольника имеют коэффициент подобия 3. Периметр меньшего треугольника 12 см. Найдите периметр большего.

Правильный ответ: 36

Решение:

1. При подобии отношение периметров = k
2. k = 3
3. P₂ = P₁ · k = 12 · 3 = 36

Типичная ошибка: Периметры подобных фигур соотносятся как k, а площади — как k²

Совет: Линейные размеры подобных фигур соотносятся как k, площади — как k²

Задание 20 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Уравнения и системы

Вопрос: Решите уравнение: (2x−1)(x+5) = 0. В ответе укажите сумму корней.

Правильный ответ: -4.5

Решение:

1. Произведение = 0, когда хотя бы один множитель = 0
2. 2x − 1 = 0 → x = 0,5
3. x + 5 = 0 → x = −5
4. Сумма: 0,5 + (−5) = −4,5

Типичная ошибка: Каждый множитель приравнивайте к нулю отдельно

Совет: Произведение множителей = 0, когда хотя бы один из них = 0

Задание 21 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Алгебраические дроби

Вопрос: Упростите: 1/(x+2) + 1/(x−2). Ответ запишите в виде дроби.

Варианты ответа:

1. 2x/(x²−4) ✓
2. 2/(x²−4)
3. 2/(x²+4)
4. x/(x²−4)

Правильный ответ: 2x/(x²−4)

Решение:

1. Общий знаменатель: (x+2)(x−2) = x²−4
2. = (x−2 + x+2) / (x²−4)
3. = 2x/(x²−4)

Типичная ошибка: При сложении дробей приводите к общему знаменателю и складывайте числители

Совет: Произведение (x+a)(x−a) = x² − a² — используйте для упрощения

Задание 22 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Практическая задача

Вопрос: Товар стоил 800 рублей. Сначала цену снизили на 25%, потом повысили на 20%. Какой стала итоговая цена?

Правильный ответ: 720

Решение:

1. Снижение на 25%: 800 · 0,75 = 600 руб.
2. Повышение на 20%: 600 · 1,20 = 720 руб.
3. Итоговая цена: 720 рублей

Типичная ошибка: Проценты считайте последовательно от текущей цены, а не от начальной

Совет: Снижение на p% — умножение на (1 − p/100), повышение — на (1 + p/100)

Задание 23 (1 балл, уровень: высокий)

Тема: Уравнения высокой сложности

Вопрос: Решите уравнение x⁴ − 10x² + 9 = 0. Укажите количество корней.

Правильный ответ: 4

Решение:

1. Замена: t = x², получаем t² − 10t + 9 = 0
2. По теореме Виета: t₁ = 1, t₂ = 9 (сумма 10, произведение 9)
3. x² = 1 → x = ±1; x² = 9 → x = ±3
4. Всего 4 корня: −3, −1, 1, 3

Типичная ошибка: Не забудьте, что каждое положительное t даёт два корня для x (±)

Совет: Биквадратное уравнение: замена t = x², потом обратная замена

Задание 24 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрия — доказательство

Вопрос: В параллелограмме ABCD сторона AB = 10, высота, проведённая к AB, равна 6. Найдите площадь параллелограмма.

Правильный ответ: 60

Решение:

1. Площадь параллелограмма: S = a · h
2. S = AB · h = 10 · 6 = 60

Типичная ошибка: Площадь параллелограмма = сторона × высота к этой стороне

Совет: Высота параллелограмма — перпендикуляр от стороны к противоположной стороне

Задание 25 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрия — вычисление

Вопрос: В окружности с центром O хорда AB = 24, расстояние от центра до хорды = 5. Найдите радиус окружности.

Правильный ответ: 13

Решение:

1. Перпендикуляр из центра на хорду делит хорду пополам: AM = 12
2. Треугольник OMA — прямоугольный
3. R² = OM² + AM² = 25 + 144 = 169
4. R = 13

Типичная ошибка: Перпендикуляр из центра делит хорду пополам — используйте половину хорды

Совет: Радиус, половина хорды и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник