1 вариант ОГЭ по математике 2026 с проверкой и разбором

Задание 1 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача (план участка)

Вопрос: На плане изображён дачный участок. Участок имеет форму прямоугольника со сторонами 20 м и 30 м. Жилой дом занимает площадь 6 м × 8 м. Сарай занимает площадь 4 м × 3 м. Оставшаяся территория — огород. Найдите площадь, которую занимает жилой дом. Ответ дайте в квадратных метрах. Общее условие к заданиям 1–5: Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 20 м и 30 м. На участке расположены жилой дом (6 м × 8 м), сарай (4 м × 3 м), теплица (2 м × 5 м) и огород. От калитки к дому ведёт дорожка шириной 1 м и длиной 10 м. Между домом и сараем — площадка 4 м × 4 м.

Правильный ответ: 48

Решение:

1. Площадь дома = длина × ширина
2. S = 6 × 8 = 48 м²

Типичная ошибка: Внимательно читайте, какой именно объект нужно найти — дом, сарай или весь участок

Совет: В задачах с планом участка всегда выделяйте нужный объект и его размеры

Статистика: 5% учеников не справляются с этим заданием

Задание 2 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Определение по плану

Вопрос: По плану дачного участка (см. задание 1) определите расстояние от калитки до дома по дорожке. Ответ дайте в метрах.

Правильный ответ: 10

Решение:

1. По условию, дорожка от калитки к дому имеет длину 10 м
2. Ответ: 10 м

Типичная ошибка: Не путайте длину дорожки с расстоянием по прямой — в задаче указана длина дорожки

Совет: Читайте условие дословно, информация обычно дана напрямую

Статистика: 4% учеников не справляются с этим заданием

Задание 3 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача с расчётом

Вопрос: По плану дачного участка (см. задание 1) найдите площадь огорода, если вся остальная территория занята домом (6 × 8), сараем (4 × 3), теплицей (2 × 5), дорожкой (1 × 10) и площадкой (4 × 4). Ответ дайте в квадратных метрах.

Правильный ответ: 504

Решение:

1. Площадь участка: 20 × 30 = 600 м²
2. Дом: 6 × 8 = 48 м²
3. Сарай: 4 × 3 = 12 м²
4. Теплица: 2 × 5 = 10 м²
5. Дорожка: 1 × 10 = 10 м²
6. Площадка: 4 × 4 = 16 м²
7. Огород: 600 − 48 − 12 − 10 − 10 − 16 = 504 м²

Типичная ошибка: Не забудьте вычесть ВСЕ объекты, включая дорожку и площадку

Совет: Площадь огорода = площадь всего участка минус площадь всех построек и покрытий

Статистика: 12% учеников не справляются с этим заданием

Задание 4 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача на выбор

Вопрос: Хозяин участка (см. задание 1) хочет обнести огород забором. Стоимость одного метра забора — 500 руб. Периметр огорода (прямоугольной формы) равен 92 м. Сколько рублей будет стоить забор для огорода?

Правильный ответ: 46000

Решение:

1. Стоимость = периметр × цена за метр
2. Стоимость = 92 × 500 = 46 000 руб.

Типичная ошибка: Не путайте площадь и периметр — здесь нужен именно периметр

Совет: Забор ставят по периметру, а не по площади

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 5 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Практическая задача

Вопрос: На дачном участке (см. задание 1) планируют уложить плитку на площадку между домом и сараем (4 м × 4 м). Одна плитка имеет размер 0,5 м × 0,5 м. Сколько плиток потребуется?

Правильный ответ: 64

Решение:

1. Площадь площадки: 4 × 4 = 16 м²
2. Площадь одной плитки: 0,5 × 0,5 = 0,25 м²
3. Количество плиток: 16 / 0,25 = 64

Типичная ошибка: Не забудьте перевести размеры плитки в те же единицы, что и площадку

Совет: Количество плиток = площадь поверхности / площадь одной плитки

Статистика: 11% учеников не справляются с этим заданием

Задание 6 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вычисления с дробями и степенями

Вопрос: Найдите значение выражения: 3,6 · 2,5 + 1,4 · 2,5

Правильный ответ: 12.5

Решение:

1. Вынесем общий множитель 2,5 за скобку
2. 2,5 · (3,6 + 1,4) = 2,5 · 5
3. 2,5 · 5 = 12,5

Типичная ошибка: Считать каждое произведение отдельно дольше и чаще приводит к ошибкам в десятичных дробях

Совет: Ищите общий множитель — это ускоряет вычисления

Статистика: 8% учеников не справляются с этим заданием

Задание 7 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числовая прямая / сравнение чисел

Вопрос: Какое из чисел отмечено на координатной прямой между точками 2 и 3?

Варианты ответа:

1. √5
2. √10
3. √7 ✓
4. √3

Правильный ответ: √7

Решение:

1. √4 = 2 и √9 = 3
2. Нужно число, квадрат которого между 4 и 9
3. √7 ≈ 2,646 — подходит (между 2 и 3)
4. √5 ≈ 2,236 — тоже между 2 и 3, но √7 ближе к середине отрезка

Типичная ошибка: Не путайте √5 и √7 — оба между 2 и 3, смотрите на положение точки на прямой

Совет: Запомните ключевые квадраты: 4, 9, 16, 25 — от них легко оценить корни

Статистика: 15% учеников не справляются с этим заданием

Задание 8 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Значение выражения

Вопрос: Найдите значение выражения (√5 − 1)² + 2√5

Правильный ответ: 6

Решение:

1. Раскрываем квадрат: (√5 − 1)² = 5 − 2√5 + 1 = 6 − 2√5
2. Прибавляем 2√5: 6 − 2√5 + 2√5 = 6

Типичная ошибка: Не забывайте про удвоенное произведение при раскрытии квадрата разности

Совет: Формула (a − b)² = a² − 2ab + b² — обязательна к заучиванию

Статистика: 14% учеников не справляются с этим заданием

Задание 9 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Уравнение / система уравнений

Вопрос: Решите уравнение x² − 5x + 6 = 0. В ответе укажите больший корень.

Правильный ответ: 3

Решение:

1. По теореме Виета: сумма корней = 5, произведение = 6
2. Подбор: x₁ = 2, x₂ = 3
3. Проверка: 2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6
4. Больший корень: 3

Типичная ошибка: Не забудьте проверить оба корня подстановкой — избежите знаковых ошибок

Совет: При a = 1 используйте теорему Виета — это быстрее дискриминанта

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 10 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вероятность

Вопрос: В коробке 5 красных и 3 синих шара. Какова вероятность вытащить красный шар? Ответ дайте в виде десятичной дроби.

Правильный ответ: 0.625

Решение:

1. Всего шаров: 5 + 3 = 8
2. P(красный) = 5/8
3. 5/8 = 0,625

Типичная ошибка: Делить нужно на ОБЩЕЕ число шаров, а не только на число другого цвета

Совет: P = благоприятные исходы / все возможные исходы

Статистика: 11% учеников не справляются с этим заданием

Задание 11 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Графики функций

Вопрос: На каком рисунке изображён график функции y = x² − 4x + 3?

Варианты ответа:

1. Парабола с ветвями вверх, вершина (2; −1) ✓
2. Парабола с ветвями вниз, вершина (2; 1)
3. Прямая y = 2x + 3
4. Гипербола

Правильный ответ: Парабола с ветвями вверх, вершина (2; −1)

Решение:

1. Коэффициент при x² равен 1 > 0 — ветви вверх
2. Вершина: x₀ = 4/(2·1) = 2
3. y₀ = 4 − 8 + 3 = −1
4. Вершина (2; −1), ветви вверх

Типичная ошибка: Знак коэффициента при x² определяет направление ветвей: + вверх, − вниз

Совет: a > 0 — ветви вверх, a < 0 — ветви вниз. Вершина: x₀ = −b/(2a)

Статистика: 18% учеников не справляются с этим заданием

Задание 12 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Последовательности и прогрессии

Вопрос: В арифметической прогрессии a₁ = 3, d = 4. Найдите a₁₀.

Правильный ответ: 39

Решение:

1. Формула: a_n = a₁ + (n − 1) · d
2. a₁₀ = 3 + (10 − 1) · 4
3. a₁₀ = 3 + 36 = 39

Типичная ошибка: Часто путают (n − 1) и n в формуле — подставляют n вместо (n − 1)

Совет: Запомните: (n − 1), не n. Первый член уже дан, прибавляем (n − 1) шагов

Статистика: 11% учеников не справляются с этим заданием

Задание 13 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Преобразование выражений

Вопрос: Сократите дробь: (x² − 9) / (x + 3)

Правильный ответ: x-3

Решение:

1. Числитель: x² − 9 = (x − 3)(x + 3) — разность квадратов
2. Сокращаем (x + 3): (x − 3)(x + 3) / (x + 3) = x − 3
3. Условие: x ≠ −3

Типичная ошибка: Разность квадратов a² − b² = (a − b)(a + b) — одна из ключевых формул

Совет: Всегда проверяйте, можно ли разложить числитель или знаменатель на множители

Статистика: 20% учеников не справляются с этим заданием

Задание 14 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Неравенства / системы неравенств

Вопрос: Решите неравенство 2x − 3 > 7. В ответе укажите наименьшее целое решение.

Правильный ответ: 6

Решение:

1. 2x − 3 > 7
2. 2x > 10
3. x > 5
4. Наименьшее целое: 6

Типичная ошибка: x > 5 означает, что 5 НЕ входит. Наименьшее целое — 6, а не 5

Совет: При строгом неравенстве (>) граничная точка не входит в решение

Статистика: 14% учеников не справляются с этим заданием

Задание 15 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Углы и треугольники

Вопрос: В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 35°. Найдите другой острый угол.

Правильный ответ: 55

Решение:

1. Сумма углов треугольника = 180°
2. В прямоугольном треугольнике один угол = 90°
3. Другой острый угол = 180° − 90° − 35° = 55°

Типичная ошибка: Не забывайте, что в прямоугольном треугольнике один угол всегда 90°

Совет: Сумма острых углов прямоугольного треугольника = 90°

Статистика: 7% учеников не справляются с этим заданием

Задание 16 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Окружность и площадь

Вопрос: Вписанный угол опирается на дугу 120°. Чему равен вписанный угол?

Правильный ответ: 60

Решение:

1. Вписанный угол = половина дуги, на которую он опирается
2. Угол = 120° / 2 = 60°

Типичная ошибка: Вписанный = дуга / 2. Центральный = дуга. Не путайте!

Совет: Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу

Статистика: 25% учеников не справляются с этим заданием

Задание 17 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Координаты на плоскости

Вопрос: Найдите расстояние между точками A(1; 2) и B(4; 6).

Правильный ответ: 5

Решение:

1. d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
2. d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²)
3. d = √(9 + 16) = √25 = 5

Типичная ошибка: Не забудьте возвести разности в квадрат перед сложением

Совет: Формула расстояния между точками — это по сути теорема Пифагора на координатной плоскости

Статистика: 16% учеников не справляются с этим заданием

Задание 18 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Клетчатая бумага

Вопрос: На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисован треугольник с вершинами в точках (0; 0), (4; 0) и (0; 3). Найдите его площадь.

Правильный ответ: 6

Решение:

1. Треугольник прямоугольный с катетами 4 и 3
2. S = (1/2) · 4 · 3 = 6

Типичная ошибка: Не забудьте делить произведение катетов на 2 — это площадь треугольника, а не прямоугольника

Совет: Для прямоугольного треугольника на клетчатой бумаге: S = (1/2) · a · b

Статистика: 9% учеников не справляются с этим заданием

Задание 19 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Геометрические утверждения

Вопрос: Какое из следующих утверждений верно?

Варианты ответа:

1. Диагонали прямоугольника равны ✓
2. Все углы ромба равны
3. Диагонали параллелограмма равны

Правильный ответ: Диагонали прямоугольника равны

Решение:

1. Диагонали прямоугольника действительно равны — это свойство прямоугольника
2. Углы ромба не обязательно равны (только противоположные)
3. Диагонали параллелограмма не обязательно равны (они делятся пополам, но могут быть разной длины)

Типичная ошибка: Путают свойства прямоугольника, ромба и параллелограмма — повторите их отличия

Совет: Запомните: в прямоугольнике диагонали равны, в ромбе — перпендикулярны

Статистика: 22% учеников не справляются с этим заданием

Задание 20 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Алгебраическое уравнение / неравенство

Вопрос: Решите уравнение x⁴ − 5x² + 4 = 0.

Правильный ответ: x = -2, -1, 1, 2

Решение:

1. Замена: t = x², получаем t² − 5t + 4 = 0
2. По теореме Виета: t₁ = 1, t₂ = 4
3. x² = 1 → x = ±1; x² = 4 → x = ±2
4. Ответ: x = −2, −1, 1, 2

Типичная ошибка: Не забудьте вернуться к исходной переменной и учесть оба знака при извлечении корня

Совет: Биквадратное уравнение → замена t = x². Решите как квадратное, потом вернитесь к x

Статистика: 45% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: обоснованно получен верный ответ
• 1 балл: допущена вычислительная ошибка, но ход решения верный
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 21 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Текстовая задача

Вопрос: Лодка прошла 12 км по течению реки и 8 км против течения за одинаковое время. Скорость течения реки — 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Правильный ответ: 10

Решение:

1. Пусть v — собственная скорость лодки
2. По течению скорость: v + 2, против течения: v − 2
3. Время одинаковое: 12/(v + 2) = 8/(v − 2)
4. 12(v − 2) = 8(v + 2)
5. 12v − 24 = 8v + 16
6. 4v = 40, v = 10

Типичная ошибка: По течению скорость увеличивается, против — уменьшается (а не наоборот)

Совет: Составьте таблицу: скорость, время, расстояние для каждого участка

Статистика: 35% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: обоснованно получен верный ответ, составлена и решена математическая модель
• 1 балл: ход решения верный, допущена вычислительная ошибка
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 22 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Функции и графики

Вопрос: Постройте график функции y = x² − 2|x| − 3 и определите, при каких значениях c прямая y = c имеет с графиком ровно три общие точки.

Правильный ответ: c = -3

Решение:

1. При x ≥ 0: y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4, вершина (1; −4)
2. При x < 0: y = x² + 2x − 3 = (x + 1)² − 4, вершина (−1; −4)
3. График симметричен относительно оси y
4. При x = 0: y = −3
5. Прямая y = c имеет ровно 3 точки пересечения при c = −3

Типичная ошибка: Модуль |x| делает функцию симметричной относительно оси y — стройте для x ≥ 0 и отражайте

Совет: Для функций с |x|: стройте правую ветвь (x ≥ 0), затем отразите симметрично

Статистика: 55% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: график построен верно, правильно найдены значения c
• 1 балл: график верный, но значения c найдены с ошибкой, или график с погрешностью, но ответ верный
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 23 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача — доказательство

Вопрос: В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E. Докажите, что треугольник ABE — равнобедренный.

Правильный ответ: AB = BE

Решение:

1. Угол BAE = угол DAE (AE — биссектриса угла A)
2. AD || BC, значит угол DAE = угол AEB (накрест лежащие при параллельных AD и BC)
3. Угол BAE = угол AEB
4. Треугольник ABE равнобедренный: AB = BE

Типичная ошибка: Не забудьте указать, почему углы равны — используйте свойство накрест лежащих углов

Совет: При доказательстве равнобедренности ищите равные углы при основании

Статистика: 52% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: доказательство верное, все шаги обоснованы
• 1 балл: ход доказательства в целом верный, но пропущен шаг обоснования или допущена неточность
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 24 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача — вычисление

Вопрос: В окружности с центром O хорда AB = 8, расстояние от центра до хорды = 3. Найдите радиус окружности.

Правильный ответ: 5

Решение:

1. Перпендикуляр из центра на хорду делит хорду пополам: AM = 4
2. Треугольник OMA — прямоугольный
3. R² = OM² + AM² = 9 + 16 = 25
4. R = 5

Типичная ошибка: Не забудьте, что перпендикуляр из центра делит хорду ПОПОЛАМ

Совет: Расстояние от центра до хорды, половина хорды и радиус образуют прямоугольный треугольник

Статистика: 42% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: решение верное, все шаги обоснованы, правильный чертёж
• 1 балл: ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка или неточность в обосновании
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 25 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрическая задача повышенной сложности

Вопрос: В трапеции ABCD (BC || AD) проведена диагональ AC. Точка M — середина стороны AB, точка N — середина стороны CD. Докажите, что площадь треугольника AMN равна четверти площади трапеции ABCD.

Правильный ответ: S(AMN) = S(ABCD)/4

Решение:

1. Проведём MN — средняя линия трапеции, MN = (AD + BC)/2 и MN || AD
2. S(AMN) = (1/2) · MN · h₁, где h₁ — расстояние от A до MN
3. Так как M — середина AB, расстояние от A до MN = h/2, где h — высота трапеции
4. S(ABCD) = (1/2)(AD + BC) · h = MN · h
5. S(AMN) = (1/2) · MN · (h/2) = MN · h / 4 = S(ABCD) / 4

Типичная ошибка: Используйте свойство средней линии трапеции и связь высот

Совет: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Статистика: 68% учеников не справляются с этим заданием

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: доказательство полное и обоснованное
• 1 балл: верная идея решения, но имеются существенные пробелы в обосновании
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла