1 вариант ОГЭ по математике 2026 с проверкой и разбором

Задание 1 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числа и вычисления

Вопрос: Найдите значение выражения: 3,6 · 2,5 + 1,4 · 2,5

Правильный ответ: 12.5

Решение:

1. Вынесем общий множитель 2,5 за скобку
2. 2,5 · (3,6 + 1,4) = 2,5 · 5
3. 2,5 · 5 = 12,5

Типичная ошибка: Частая ошибка — считать каждое произведение отдельно и ошибиться в десятичных дробях

Совет: Ищите общий множитель — это ускоряет вычисления и снижает вероятность ошибки

Статистика: 8% учеников не справляются с этим заданием

Задание 2 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Числовая прямая

Вопрос: Какое из чисел отмечено на координатной прямой между точками 2 и 3?

Варианты ответа:

1. √5
2. √10
3. √7 ✓
4. √3

Правильный ответ: √7

Решение:

1. √4 = 2 и √9 = 3
2. Нужно число, квадрат которого между 4 и 9
3. √7 ≈ 2,646 — подходит (между 2 и 3)
4. √5 ≈ 2,236 — тоже между 2 и 3, но √7 ближе к середине отрезка

Типичная ошибка: Не путайте √5 и √7 — оба между 2 и 3, но на координатной прямой отмечена именно √7

Совет: Запомните ключевые квадраты: 4, 9, 16, 25 — от них легко оценить корни

Статистика: 15% учеников не справляются с этим заданием

Задание 3 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Алгебраические выражения

Вопрос: Упростите выражение (x + 3)² − 6x и найдите его значение при x = 0

Правильный ответ: 9

Решение:

1. Раскрываем квадрат: (x+3)² = x² + 6x + 9
2. Вычитаем 6x: x² + 6x + 9 − 6x = x² + 9
3. При x = 0: 0 + 9 = 9

Типичная ошибка: Забывают про удвоенное произведение в формуле (a+b)² = a² + 2ab + b²

Совет: Формулы сокращённого умножения — обязательно к заучиванию для ОГЭ

Статистика: 12% учеников не справляются с этим заданием

Задание 4 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Уравнения

Вопрос: Решите уравнение x² − 5x + 6 = 0. В ответе укажите больший корень.

Правильный ответ: 3

Решение:

1. По теореме Виета: сумма корней = 5, произведение = 6
2. Подбор: x₁ = 2, x₂ = 3
3. Проверка: 2 + 3 = 5 ✓, 2·3 = 6 ✓
4. Больший корень: 3

Типичная ошибка: Не забудьте проверить оба корня подстановкой — избежите знаковых ошибок

Совет: При a=1 используйте теорему Виета — это быстрее дискриминанта

Статистика: 10% учеников не справляются с этим заданием

Задание 5 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Неравенства

Вопрос: Решите неравенство 2x − 3 > 7. В ответе укажите наименьшее целое решение.

Правильный ответ: 6

Решение:

1. 2x − 3 > 7
2. 2x > 10
3. x > 5
4. Наименьшее целое: 6

Типичная ошибка: x > 5, значит 5 НЕ входит. Наименьшее целое — 6, а не 5

Совет: При строгом неравенстве (>) граничная точка не входит в решение

Статистика: 14% учеников не справляются с этим заданием

Задание 6 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Последовательности

Вопрос: В арифметической прогрессии a₁ = 3, d = 4. Найдите a₁₀.

Правильный ответ: 39

Решение:

1. Формула: aₙ = a₁ + (n−1)·d
2. a₁₀ = 3 + (10−1)·4
3. a₁₀ = 3 + 36 = 39

Типичная ошибка: Часто путают (n−1) и n в формуле — подставляют n вместо (n−1)

Совет: Запомните: (n−1), не n. Первый член уже дан, прибавляем (n−1) шагов

Статистика: 11% учеников не справляются с этим заданием

Задание 7 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Графики функций

Вопрос: Функция y = x² − 4x + 3 имеет корни x = 1 и x = 3. Куда направлены ветви параболы?

Варианты ответа:

1. Вверх ✓
2. Вниз
3. Влево
4. Вправо

Правильный ответ: Вверх

Решение:

1. Коэффициент при x² равен 1
2. 1 > 0 → ветви параболы направлены вверх
3. Вершина: x₀ = 4/2 = 2, y₀ = 4 − 8 + 3 = −1

Типичная ошибка: Знак коэффициента при x² определяет направление ветвей: + вверх, − вниз

Совет: a > 0 — ветви вверх (улыбка), a < 0 — ветви вниз (грусть)

Статистика: 9% учеников не справляются с этим заданием

Задание 8 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Системы уравнений

Вопрос: Решите систему: x + y = 7, x − y = 3. Найдите x.

Правильный ответ: 5

Решение:

1. Сложим уравнения: (x+y) + (x−y) = 7 + 3
2. 2x = 10
3. x = 5

Типичная ошибка: При сложении уравнений y должен сократиться. Если нет — проверьте знаки

Совет: Метод сложения — самый быстрый для систем с противоположными коэффициентами

Статистика: 13% учеников не справляются с этим заданием

Задание 9 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Статистика

Вопрос: Набор данных: 2, 5, 3, 7, 3. Найдите медиану.

Правильный ответ: 3

Решение:

1. Упорядочим: 2, 3, 3, 5, 7
2. Нечётное количество (5) → медиана = средний элемент
3. Медиана = 3 (третий элемент)

Типичная ошибка: Не забудьте упорядочить данные перед поиском медианы

Совет: Медиана — значение в середине упорядоченного ряда

Статистика: 7% учеников не справляются с этим заданием

Задание 10 (1 балл, уровень: базовый)

Тема: Вероятность

Вопрос: В коробке 5 красных и 3 синих шара. Какова вероятность вытащить красный? Ответ дайте в виде десятичной дроби.

Правильный ответ: 0.625

Решение:

1. Всего шаров: 5 + 3 = 8
2. P(красный) = 5/8
3. 5/8 = 0,625

Типичная ошибка: Не забудьте делить на ОБЩЕЕ число шаров, а не только на другой цвет

Совет: P = благоприятные / все возможные

Статистика: 11% учеников не справляются с этим заданием

Задание 11 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Преобразования выражений

Вопрос: Сократите дробь: (x² − 9)/(x + 3)

Варианты ответа:

1. x − 3 ✓
2. x + 3
3. x² − 3
4. (x − 3)²

Правильный ответ: x − 3

Решение:

1. Числитель: x² − 9 = (x−3)(x+3) — разность квадратов
2. Сокращаем (x+3): (x−3)(x+3)/(x+3) = x − 3
3. Условие: x ≠ −3

Типичная ошибка: Разность квадратов a²−b² = (a−b)(a+b) — одна из ключевых формул

Совет: Всегда проверяйте, можно ли разложить числитель или знаменатель на множители

Статистика: 20% учеников не справляются с этим заданием

Задание 12 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Текстовая задача

Вопрос: Лодка прошла 12 км по течению и 8 км против течения за одинаковое время. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Правильный ответ: 10

Решение:

1. Пусть v — собственная скорость. По течению: v+2, против: v−2
2. Время одинаковое: 12/(v+2) = 8/(v−2)
3. 12(v−2) = 8(v+2)
4. 12v − 24 = 8v + 16 → 4v = 40 → v = 10

Типичная ошибка: По течению скорость увеличивается, против — уменьшается (а не наоборот)

Совет: Составьте таблицу: скорость × время = расстояние для каждого участка

Статистика: 28% учеников не справляются с этим заданием

Задание 13 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Функции и графики

Вопрос: График какой функции проходит через точки (0, 1) и (2, 5)?

Варианты ответа:

1. y = 2x + 1 ✓
2. y = x + 1
3. y = 3x + 1
4. y = 2x − 1

Правильный ответ: y = 2x + 1

Решение:

1. Подставим (0, 1): y = k·0 + b → b = 1
2. Подставим (2, 5): 5 = 2k + 1 → k = 2
3. y = 2x + 1

Типичная ошибка: Сначала находим b (подставив x=0), потом k из второй точки

Совет: Линейная функция y = kx + b. Если одна из точек (0, b) — b находится сразу

Статистика: 16% учеников не справляются с этим заданием

Задание 14 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Числовые последовательности

Вопрос: Геометрическая прогрессия: b₁ = 2, q = 3. Найдите b₅.

Правильный ответ: 162

Решение:

1. Формула: bₙ = b₁ · q^(n−1)
2. b₅ = 2 · 3⁴
3. 3⁴ = 81
4. b₅ = 2 · 81 = 162

Типичная ошибка: В геометрической прогрессии степень q равна (n−1), не n

Совет: Геометрическая: умножаем. Арифметическая: прибавляем. Не путайте

Статистика: 19% учеников не справляются с этим заданием

Задание 15 (2 балла, уровень: базовый)

Тема: Треугольники

Вопрос: В прямоугольном треугольнике катеты 3 и 4. Найдите гипотенузу.

Правильный ответ: 5

Решение:

1. По теореме Пифагора: c² = a² + b²
2. c² = 9 + 16 = 25
3. c = 5

Типичная ошибка: Тройка (3, 4, 5) — классическая пифагорова тройка. Запомните её!

Совет: Пифагоровы тройки: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) — экономят время

Статистика: 6% учеников не справляются с этим заданием

Задание 16 (2 балла, уровень: базовый)

Тема: Площади

Вопрос: Найдите площадь трапеции с основаниями 6 и 10 и высотой 4.

Правильный ответ: 32

Решение:

1. S = (a + b)/2 · h
2. S = (6 + 10)/2 · 4
3. S = 8 · 4 = 32

Типичная ошибка: Не забудьте делить сумму оснований на 2

Совет: Площадь трапеции = полусумма оснований × высота

Статистика: 12% учеников не справляются с этим заданием

Задание 17 (2 балла, уровень: повышенный)

Тема: Окружность

Вопрос: Вписанный угол опирается на дугу 120°. Чему равен вписанный угол?

Правильный ответ: 60

Решение:

1. Вписанный угол = половина дуги, на которую он опирается
2. Угол = 120° / 2 = 60°

Типичная ошибка: Вписанный = дуга/2. Центральный = дуга. Не путайте!

Совет: Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу

Статистика: 25% учеников не справляются с этим заданием

Задание 18 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Четырёхугольники

Вопрос: Диагонали ромба 6 и 8. Найдите площадь ромба.

Правильный ответ: 24

Решение:

1. S = (d₁ · d₂) / 2
2. S = (6 · 8) / 2
3. S = 48 / 2 = 24

Типичная ошибка: Площадь ромба через диагонали — не забудьте делить на 2

Совет: Ромб: S = d₁·d₂/2. Параллелограмм: S = a·h

Статистика: 17% учеников не справляются с этим заданием

Задание 19 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Подобие треугольников

Вопрос: Треугольники подобны с коэффициентом 2. Площадь меньшего 10 см². Найдите площадь большего.

Правильный ответ: 40

Решение:

1. При подобии отношение площадей = k²
2. k = 2, значит k² = 4
3. S₂ = S₁ · k² = 10 · 4 = 40

Типичная ошибка: Площади отличаются в k², а не в k раз. Линейные размеры — в k раз

Совет: Подобие: длины ×k, площади ×k², объёмы ×k³

Статистика: 30% учеников не справляются с этим заданием

Задание 20 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Уравнения и системы

Вопрос: Решите уравнение: (x−2)(x+4) = 0. В ответе укажите сумму корней.

Правильный ответ: -2

Решение:

1. Произведение = 0, когда хотя бы один множитель = 0
2. x − 2 = 0 → x = 2
3. x + 4 = 0 → x = −4
4. Сумма: 2 + (−4) = −2

Типичная ошибка: При x + 4 = 0 ответ x = −4, не +4. Следите за знаками

Совет: Произведение = 0 ⇔ один из множителей = 0

Статистика: 18% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: Дано: (x−2)(x+4) = 0 Метод: разложение на множители. Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. 1) x − 2 = 0 ⟹ x₁ = 2 2) x + 4 = 0 ⟹ x₂ = −4 Сумма корней: x₁ + x₂ = 2 + (−4) = −2 Ответ: −2

Критерии ФИПИ:

• 1 балл: верный ответ (−2)
• 0 баллов: неверный ответ или ответ отсутствует

Задание 21 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Алгебраические дроби

Вопрос: Упростите: 1/(x−1) − 1/(x+1). Ответ запишите в виде дроби.

Варианты ответа:

1. 2/(x²−1) ✓
2. −2/(x²−1)
3. 2x/(x²−1)
4. 0

Правильный ответ: 2/(x²−1)

Решение:

1. Общий знаменатель: (x−1)(x+1) = x²−1
2. = (x+1 − (x−1)) / (x²−1)
3. = (x+1−x+1) / (x²−1)
4. = 2/(x²−1)

Типичная ошибка: При вычитании дробей меняйте знак у ВСЕХ слагаемых числителя вычитаемой дроби

Совет: Приведение к общему знаменателю: перемножайте знаменатели, если нет общих множителей

Статистика: 32% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: Дано: 1/(x−1) − 1/(x+1) Шаг 1. НОЗ: (x−1)(x+1) = x²−1 Шаг 2. Приводим к общему знаменателю: (x+1)/((x−1)(x+1)) − (x−1)/((x−1)(x+1)) Шаг 3. Раскрываем числитель: = (x + 1 − x + 1) / (x²−1) = 2 / (x²−1) Ответ: 2/(x²−1)

Критерии ФИПИ:

• 1 балл: верный ответ 2/(x²−1)
• 0 баллов: неверный ответ или ответ отсутствует

Задание 22 (1 балл, уровень: повышенный)

Тема: Практическая задача

Вопрос: Рабочий делает 12 деталей за 4 часа. Сколько деталей сделают 3 таких рабочих за 6 часов?

Правильный ответ: 54

Решение:

1. Производительность 1 рабочего: 12/4 = 3 детали/час
2. 3 рабочих: 3 · 3 = 9 деталей/час
3. За 6 часов: 9 · 6 = 54 детали

Типичная ошибка: Сначала найдите производительность одного, потом масштабируйте

Совет: Задачи на работу: находите скорость (единиц/час), потом считайте общий результат

Статистика: 22% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: Дано: 1 рабочий → 12 деталей за 4 часа Найти: сколько деталей сделают 3 рабочих за 6 часов Шаг 1. Производительность 1 рабочего: P = 12 / 4 = 3 детали/час Шаг 2. Производительность 3 рабочих: P₃ = 3 × 3 = 9 деталей/час Шаг 3. Количество деталей за 6 часов: N = 9 × 6 = 54 Ответ: 54 детали

Критерии ФИПИ:

• 1 балл: верный ответ (54)
• 0 баллов: неверный ответ или ответ отсутствует

Задание 23 (1 балл, уровень: высокий)

Тема: Уравнения высокой сложности

Вопрос: Решите уравнение x⁴ − 5x² + 4 = 0. Укажите наибольший корень.

Правильный ответ: 2

Решение:

1. Замена: t = x², получаем t² − 5t + 4 = 0
2. По теореме Виета: t₁ = 1, t₂ = 4
3. x² = 1 → x = ±1; x² = 4 → x = ±2
4. Наибольший корень: 2

Типичная ошибка: Не забудьте вернуться к исходной переменной и учесть оба знака

Совет: Биквадратное уравнение → замена t = x². Решите как квадратное, потом вернитесь к x

Статистика: 45% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: Дано: x⁴ − 5x² + 4 = 0 Шаг 1. Замена переменной: пусть t = x² (t ≥ 0) t² − 5t + 4 = 0 Шаг 2. Решаем квадратное уравнение: D = 25 − 16 = 9 t₁ = (5 + 3)/2 = 4 t₂ = (5 − 3)/2 = 1 Шаг 3. Обратная замена: x² = 4 ⟹ x = ±2 x² = 1 ⟹ x = ±1 Корни: −2, −1, 1, 2 Наибольший: 2 Ответ: 2

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: обоснованно получен верный ответ
• 1 балл: допущена вычислительная ошибка, но ход решения верный
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 24 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрия — доказательство

Вопрос: В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что AO = 5, BO = 7. Найдите AC.

Правильный ответ: 10

Решение:

1. В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам
2. AO = OC = 5
3. AC = AO + OC = 5 + 5 = 10

Типичная ошибка: Диагонали параллелограмма делятся пополам, а не равны между собой

Совет: Свойства параллелограмма: диагонали делятся пополам, противоположные стороны равны

Статистика: 38% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: Дано: ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей, AO = 5, BO = 7 Найти: AC Решение: Свойство параллелограмма: диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно: AO = OC = 5 BO = OD = 7 AC = AO + OC = 5 + 5 = 10 Ответ: 10

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: доказательство верное, все шаги обоснованы
• 1 балл: ход решения верный, но допущена ошибка или пропущен шаг обоснования
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла

Задание 25 (2 балла, уровень: высокий)

Тема: Геометрия — вычисление

Вопрос: В окружности с центром O хорда AB = 8, расстояние от центра до хорды = 3. Найдите радиус окружности.

Правильный ответ: 5

Решение:

1. Перпендикуляр из центра на хорду делит хорду пополам: AM = 4
2. Треугольник OMA — прямоугольный
3. R² = OM² + AM² = 9 + 16 = 25
4. R = 5

Типичная ошибка: Не забудьте, что перпендикуляр из центра делит хорду ПОПОЛАМ

Совет: Расстояние от центра до хорды + половина хорды + радиус образуют прямоугольный треугольник

Статистика: 42% учеников не справляются с этим заданием

Подробное решение: Дано: окружность с центром O, хорда AB = 8, расстояние от O до AB равно 3 Найти: R Решение: 1. Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит хорду пополам: AM = AB/2 = 8/2 = 4 2. Треугольник OMA — прямоугольный (∠OMA = 90°), где: OM = 3 (расстояние от центра до хорды) AM = 4 (половина хорды) OA = R (радиус) 3. По теореме Пифагора: R² = OM² + AM² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 R = 5 Ответ: 5

Критерии ФИПИ:

• 2 балла: решение верное, все шаги обоснованы, правильный чертёж
• 1 балл: ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка или неточность в обосновании
• 0 баллов: решение не соответствует критериям на 1–2 балла